今回は、量子シミュレーションを実際にどのようにして行うのか解説します。今回使用する系はラビ振動です。これは最も簡単な時間発展系の一つです。2準位間に遷移双極子モーメントが存在する場合、その準位間に相当する電磁波を照射することで、時間変化する量子重ね合わせが作れるというものです。この現象は量子計算にも利用されちます。まずはラビ振動のハミルトニアンとその時間発展を説明します。
ラビ振動: 2準位系を考え、そのハミルトニアンが時間発展する場合を考えます。そんの場合、波動関数は、 \begin{equation} \mid \Psi \rangle = \sum_{j}e^{-i/\hbar E_j t}b_j(t)\mid j \rangle \end{equation}
となります。ここではディラック定数で、プランク定数をで割ったものです。シュレディンガー方程式を簡略化して、
\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0&e^{-i/\hbar(E_1-E_0)t}\langle 0\mid H_D \mid 1 \rangle \ e^{i/\hbar(E_1-E_0)t}\langle 1 \mid H_D \mid 0 \rangle & 0 \ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \end{eqnarray}
となります。 非対角項は遷移相互作用です。これは遷移双極子モーメントと電磁波のベクトル内積としてあらわされます。こうして式(2)は、
\begin{eqnarray} E\left( \begin{array}{cc} 0&e^{-i/\hbar(E_1-E_0)t}cos\omega t \mu_{01} \ e^{i/\hbar(E_1-E_0)t}cos\omega t \mu_{01}^* & 0 \ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \end{eqnarray}
と改められます。
この式は回転波近似を施すことで、時間依存しない形に直せます。指数項と外部電磁波の部分はの場合には、時間依存しない項とに依存して時間発展する項の和になります。後者は平均がゼロになるため寄与は無視することが可能です。そのため前者のみとします。こうして、
\begin{eqnarray} \frac{1}{2}E\left( \begin{array}{cc} 0&\mu_{01} \ \mu_{01}^* & 0 \ \end{array} \right)=i\hbar\textbf{b}'(t) \end{eqnarray}
となります。 後は通常のシュレディンガー方程式と同じです。これを解いて、
\begin{eqnarray} b_0(t)&=&cos\frac{E \mid \mu_{01} \mid}{2\hbar}t \ b_1(t)&=&sin\frac{E \mid \mu_{01} \mid}{2\hbar}t \ \end{eqnarray}
となります。
シミュレーションとその結果: これらのものはblueqatで容易にシミュレーション可能です。1量子ビット系においてはをこの記事の時間発展ゲートによって量子ビットに印加するだけです。今回はとします。ここで、Tはシミュレーションを行う時間フレーム数で300とします。 図1[1]を見ると、ラビ振動の1周期が再現できていることがわかります。しかしこれだけでは、ゲートのシミュレーションしかできません。次回は、位相付きラビ振動のシミュレーション方法を解説します。
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