今回、Variational Quantum Eigensolcver(VQE)法における非対角項の計算について説明します。VQE法においては、励起状態を順次計算し、それらの間の重ね合わせ状態を作る方法はQunasys社によって発表される[1]までは、確立されていませんでした。これには、アダマールテストと呼ばれる手法を応用します。アダマールテストとは、アンシラを用意することで、そのアンシラが0の場合と1の場合とで別の計算を行うというものです。この手法は古くは量子フーリエ変換、微分演算子の導出などに使われてきました。そして、NISQにおける実装はゲート数が多いため厳しいですが、非対角項計算にも利用可能です。それには、図1の回路を用います。

図1 非対角項を計算する回路。

この回路はアンシラビットが0の場合と1の場合とで異なる状態を初期値から生成します。状態を作るクラスターとハミルトニアンが同じならば、係数を担当するゲートのみが制御演算となります。ハミルトニアンの係数h_lの、上の(a)回路におけるアンシラビット観測直前の状態は、

$\mid \Psi \rangle = \frac{1}{2}(\mid 0 \rangle \otimes (\mid \Phi_j \rangle + H\mid \Phi_k \rangle)+\mid 1 \rangle \otimes (\mid \Phi_j \rangle - H\mid \Phi_k \rangle))$

となります。これにおけるアンシラが0の状態と1の状態における結果の差をとることで、非対角項の実部が計算可能です。同様にして、(b)回路における結果は、

$\mid \Psi \rangle = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\mid 0 \rangle \otimes ((1+i)\mid \Phi_j \rangle + (1-i)H\mid \Phi_k \rangle)+\mid 1 \rangle \otimes ((1+i)\mid \Phi_j \rangle - (1-i)H\mid \Phi_k \rangle))$

となります。こちらは虚部を計算できます。今回はこれで水素分子における遷移双極子モーメントを計算します。この値は、

$H_D=erN$

と表されます。ここで、eはクーロン定数、rは0.7(Å)とします。Nは電荷分布です。表1にそれらを示します。表2を見ると、精度良く計算された基底状態と三重項状態間のものだけが厳密解同様に無視できる値になっています。本来ならば、水素分子は対称な2原子分子であることを考慮すると電荷の偏りはゼロなため、遷移双極子モーメントは全状態間でゼロなはずです。そうでない値があるというのは、やはり規定がSTO-3Gであることと値の精度が相当よくないと正確な遷移双極子モーメントが出ないためであると考えられます。なので、各状態の精度が悪くても、遷移双極子モーメントを正確に計算する非対角項計算手法の開発が求められます。

表1 水素分子における非対角項遷移双極子モーメントの値。単位はデバイです。

表2 水素分子における各状態のエネルギー準位と対数エラー。

[1] Y. Ibe and et. al., arXiv[quant-ph],2202.11724v1(2020)

Variational Quantum Eigensolverにおける非対角項計算の紹介

Hikaru Wakaura