クイズの答え: 純粋状態と混合状態をどうやって区別したらいいか。

答えは

1. σxを何回も測定、記録する。ただし、一回測定したらその箱は捨てる。
2. σyを何回も測定、記録する。ただし、一回測定したらその箱は捨てる。
3. これらの測定結果とともに、σx, σy, σzの表を作る。その表にはσzは+1, -1をランダムに書き込む(これは題意より)
4. σx, σy, σzの平均<σx>, <σy>, <σz>をそれぞれ求める(題意より<σz>=0になるはず)
5. <σx>^2+<σy>^2+<σz>^2=1 ならば純粋状態
6. それ以外、つまり<σx>^2+<σy>^2+<σz>^2<1 ならば混合状態。

です。

または、

1. 上の1.2. と同様の測定と記録を行い、上の3.と同じように表をつくる。
2. σx, σy, σzの平均<σx>, <σy>, <σz>をそれぞれ求める(題意より<σz>=0になるはず)
3. <σx>, <σy>, <σz>を並べなおして 2x2 の密度行列を作る
4. 密度行列のランクが1ならば純粋状態、または、密度行列を対角化し、固有値が二つ 0, 1と得られたら純粋状態、または、密度行列の自乗を計算しても変化なし(ρ^2=ρ)、ならば純粋状態です。この三つは同値です。
5. それ以外ならば、混合状態

です。

人間は有限な存在故、測定も有限回しかできませんので、厳密に等号成立を達成することは(ほぼ)ありません。理論的なところを問うていると思っていただければありがたいです(ご指摘多謝)

なお、量子力学が破れない限り、密度行列の固有値が負になることはありません。