common.title

堀田量子の補足、二準位系の密度行列の条件を書き下す

Nakata Maho 6 months ago

1

密度行列は量子力学の基本変数です。そして密度行列はρ=ρ,trρ=1\rho^\dagger=\rho, \rm{tr} \rho =1 およびρ0\rho \succeq 0を満たす必要があります。ただ、最後のρ0\rho \succeq 0、つまり半正定値条件は行列の固有値が0以上というもので、取り扱いが面倒です。同値な条件はいくつか知られています。その一つに ρ0\rho \succeq 0 \Leftrightarrow すべての主小行列式がゼロ以上、というのがあります(佐竹線形代数p.163 §4, 定理6 とその脚注参照) これを使うと、密度行列の要素から有限個の不等式で書き下すことができます。

今回は、2準位系の密度行列ρ\rhoに対する条件を、密度行列の要素の不等式で書き下す、ということをしてみます。

まずは準備です。

from sympy import *
var('λ1:11', real=True)
(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6, λ7, λ8, λ9, λ10)
e=Symbol('epsilon', real=True)

Pauli行列をλ^1\hat \lambda_1, λ^2\hat \lambda_2, λ^3\hat \lambda_3と設定します。

_λ1=Matrix([[0,1],[1,0]]) _λ2=Matrix([[0,-I],[I,0]]) _λ3=Matrix([[1,0],[0,-1]])

Trλ^2λ^2=2{\rm Tr} \hat \lambda_2 \hat \lambda_2 = 2 を確認しましょう。

(_λ2*_λ2).trace()
2

密度行列ρ=12I^+12(λ^1λ1+λ^2λ2+λ^3λ3)\rho = \frac{1}{2}\hat I + \frac{1}{2}(\hat \lambda_1 \lambda_1+ \hat \lambda_2 \lambda_2 + \hat \lambda_3 \lambda_3)入力します。

ρ2= Rational(1,2)*eye(2) + Rational(1,2)*(_λ1*λ1 + _λ2*λ2 + _λ3*λ3) display(ρ2)
Matrix([

[   λ3/2 + 1/2, λ1/2 - I*λ2/2],

[λ1/2 + I*λ2/2,    1/2 - λ3/2]])

2x2行列なので、主行列式はこのρ\rhoおよび対角成分二つ、のみです。まずは全行列の行列式を求めます

simplify(ρ2.det())
-λ1**2/4 - λ2**2/4 - λ3**2/4 + 1/4

上の式はゼロ以上です。従って、λ12+λ22+λ321\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \leq 1と書き直せます。 さらに、対角要素からは、λ3+10\lambda_3+1\geq 0, 1λ301 - \lambda_3 \geq 0が出てきますが、これはλ12+λ22+λ321\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \leq 1に含まれているので不要となります。これで二準位系の密度行列の完全な特徴づけを要素を使った不等式条件ですべて書き下すことができました。これは教科書にあるようにブロッホ球となります。2準位系の場合は偶然とてもきれいな形で書けます。

この方法は一般のNN順位系への拡張も簡単です。しかし、その場合、計算や式が複雑になるだけではなく、独立な条件のみを得るのも難しくなります。今回の場合は、λ3+10\lambda_3+1\geq 0, 1λ301 - \lambda_3 \geq 0は自明にλ12+λ22+λ321\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \leq 1からわかりました。教科書にあるようにブロッホ球のように単純な形はしていません。次回は3準位系の密度行列の条件を出してみようと思います。

Nakata Maho

@645de8a7-f218-4ba0-96f6-f2e5acaa1d66

RIKEN

nakatamaho

About us ©2022 Copyright © 2022 blueqat Inc. All rights reserved