エルミート行列とユニタリ行列は兄弟みたいなもの (II)

さて、エルミート行列HHH はそれを虚数倍したものの指数関数を考えることができるということが分かりました。

exp⁡iH\exp iH expiH

これはどんな行列でしょうか。

まず、H†=HH^\dagger = HH†=H より、(exp⁡iH)†=exp⁡(−iH)(\exp iH)^\dagger = \exp (-iH)(expiH)†=exp(−iH) であることが分かります。

したがって(exp⁡iH)†(exp⁡iH)=exp⁡(−iH+iH)=exp⁡0=I(\exp iH)^\dagger (\exp iH) = \exp (-iH + iH) = \exp 0 = I(expiH)†(expiH)=exp(−iH+iH)=exp0=I より、ユニタリ行列であることが分かります。

特にH=diag(θ1,θ2,θ3,⋯ ,θn)H = {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n)H=diag(θ1​,θ2​,θ3​,⋯,θn​) の場合は自明に

exp⁡iH=diag(exp⁡iθ1,exp⁡iθ2,exp⁡iθ3,⋯ ,exp⁡iθn)\exp iH = {\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i\theta_2, \exp i \theta_3, \cdots, \exp i \theta_n)expiH=diag(expiθ1​,expiθ2​,expiθ3​,⋯,expiθn​)

であり、純虚数の指数関数との対応付けることができます。

exp⁡iθexp⁡−iθ=1\exp i\theta \exp -i \theta = 1expiθexp−iθ=1

結局、この指数関数を求めることはエルミート行列をユニタリ行列に変換するということになります。

逆は可能でしょうか。ユニタリ行列があれば、実数の場合のようにθを求めることは可能でしょうか。

実は可能です

これを行ってみましょう。

まず、どんなユニタリ行列UUU も正規行列なので、あるユニタリ行列で対角化ができます((I)の伏線回収)。

ユニタリ行列はベクトルの「長さ」を変えないので、固有値の絶対値は1です。したがってexp⁡iθ\exp i\thetaexpiθの形で書けます。θi\theta_iθi​ はもちろん実数です。

U=V†diag(exp⁡iθ1,exp⁡iθ2,exp⁡iθ3,exp⁡i⋯ ,exp⁡iθn)VU= V^\dagger {\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i \theta_2, \exp i \theta_3, \exp i \cdots, \exp i \theta_n) VU=V†diag(expiθ1​,expiθ2​,expiθ3​,expi⋯,expiθn​)V

ここまでくれば、エルミート行列との対応関係が見えてくるでしょう。

diag(exp⁡iθ1,exp⁡iθ2,exp⁡iθ3,exp⁡i⋯ ,exp⁡iθn)→diag(θ1,θ2,θ3,⋯ ,θn){\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i \theta_2, \exp i \theta_3, \exp i \cdots, \exp i \theta_n) \rightarrow {\rm diag} ( \theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n)diag(expiθ1​,expiθ2​,expiθ3​,expi⋯,expiθn​)→diag(θ1​,θ2​,θ3​,⋯,θn​)

のような写像を考え、VVV で挟んでやるということを考えればよいわけです。

V†diag(θ1,θ2,θ3,⋯ ,θn)VV^\dagger {\rm diag} ( \theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) VV†diag(θ1​,θ2​,θ3​,⋯,θn​)V

これは自明にエルミート行列ですね(ヒント: (AB)†=B†A†(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger(AB)†=B†A†)。

これらを組み合わせると以下のことが言えます。

• どんなユニタリ行列UUU にも、あるエルミート行列HHH が存在してU=exp⁡iHU=\exp i HU=expiH と書ける。
• 任意のエルミート行列対して虚数倍した行列iHiHiH の指数関数exp⁡iH\exp iHexpiH は、ユニタリ行列である。
• 従って、エルミート行列とユニタリ行列は対応がつく。しかし、一対一対応ではない。なぜならば、各θi\theta_iθi​ には2mπ2m\pi2mπ (mは整数)mは整数)mは整数) だけの任意性があるから。

こうみると、エルミート行列とユニタリ行列はかなり似ていることが分かります。エルミート行列についてはユニタリ行列の場合のように、積について群構造を持たないため、群構造を入れるために指数関数を考えるのかもしれません。今回は一対一対応ではないので、「兄弟のような関係」としてみました。