(disclaimer 数学的には雑なのでそこはご容赦)

線形代数を学ぶとエルミート行列とユニタリ行列が出てくると思います。初学者はなんやこれと思うと思うのですが、エルミート行列とユニタリ行列は

量子力学、量子コンピュータにでてくる必須の行列です。まず最初に、量子力学、量子コンピュータで頻繁に使う定義と定理を確認しておきましょう。

定義をまずはっきりさせておきます。

エルミート行列の定義は $H=H^\dagger$ つまり転置をとって複素共役をとるともとの行列に戻る、です。成分で書くと $H_{ij}= H_{ji}^*$ となってます。*は複素共役という意味です。
ユニタリ行列の定義は $U^\dagger = U^{-1}$ となってます。転置をとって複素共役をとると逆行列になる、です。したがって $U^\dagger U = UU^\dagger=I$ です。

さて、正規行列についても定義を書いておきます。

行列 $A$ が正規行列とは $AA^\dagger = A^\dagger A$ が成立すること

以上で定義は終わりです。

正規行列ですが、行列 $A$ が正規行列ならば、行列 $A$ をユニタリ行列で対角化ができることが知られています(実は同値)。

したがって、以下のことが分かります。

ユニタリ行列はユニタリ行列で対角化できる。
エルミート行列はユニタリ行列で対角化できる。

量子コンピュータの教科書には必ず、

エルミート行列 $H$ は物理量に対応している。
エルミート行列は $H = U^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) U$ ユニタリ行列で対角化できる
固有値 $\theta_1, \theta_2, \theta_3 \cdots \theta_n$ は必ず実数となる。物理的解釈としては、物理量は必ず実数値をとるから、です。
固有ベクトルはたがいに直交する(=ユニタリ行列で対角化可能なので)、物理的解釈としてはN次元複素数空間の座標系を回転させるだけで、物理量は対角的に見える、です。

実は、ユニタリ行列もユニタリ行列で対角ができるのです。今回はこれを使います。

次に行列の指数関数 $\exp$ というのを考えてみましょう。皆さんは実数や複素数の時に $\exp (x+yi)$ を考えるということをしたことがあると思います。 $a$ が実数でも複素数でも

$\exp a = \sum_k^\infty \frac{a^k}{n!}$

が定義です。特に、複素数の場合、最も有名な関係

$\exp i\theta =\cos\theta + i \sin \theta$

はご存じの方が多いでしょう。

指数関数は実数や複素数の時と同じように、行列に拡張することができます。ただ単に複素数または実数 $a$ を行列 $A$ に置き換えるだけです。

$\exp A = \sum_{k=1}^\infty \frac{A^k}{k!}$

エルミート行列に虚数単位をかけたもの $iH$ の指数関数を考えてみましょう。

$\exp iH = \sum_{k=1}^\infty \frac{i^kH^k}{k!}$

$i^k H^k$ を考えるのはめんどくさそうですが、一歩ずつやるとそんなに大したこともありません。まず、エルミート行列はユニタリ行列で対角化可能というのを使うと、

$H = U^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) U$ 、とかけますから、

$iH = U^\dagger {\rm diag} (i\theta_1, i\theta_2, i\theta_3, \cdots, i\theta_n) U$ ですね。

二乗を考えると、

$H^2 = U^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) U U^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta n) U = U^\dagger {\rm diag} (\theta_1^2, \theta_2^2, \theta_3^2, \cdots, \theta_n^2) U$

より

$i^2 H^2 = U^\dagger {\rm diag} (i \theta_1, i\theta_2, i\theta_3, \cdots, i\theta_n) U U^\dagger {\rm diag} (i\theta_1, i\theta_2, i\theta_3, \cdots, i\theta_n) U = U^\dagger {\rm diag} (-\theta_1^2, -\theta_2^2, -\theta_3^2, \cdots, -\theta_n^2) U$

と、なるため、

$\exp iH = U^\dagger \sum_{k=1}^\infty \frac{ i^k {\rm diag} (\theta_1^k, \theta_2^k, \theta_3^k, \cdots, \theta_n^k) }{k!} U$ となります。

結局

$\exp iH = U^\dagger {\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i\theta_2, \exp i \theta_3, \cdots, \exp i \theta_n) U$

という風に簡単に計算することができます。

つづく

エルミート行列とユニタリ行列は兄弟みたいなもの (I)

Nakata Maho