堀田量子の補足、3準位系の密度行列の条件を書き下す(簡易版)

密度行列は量子力学の基本変数です。そして密度行列は\rho^\dagger=\rho, \rm{tr} \rho =1 および\rho \succeq 0を満たす必要があります。ただ、最後の\rho \succeq 0、つまり半正定値条件は行列の固有値が0以上というもので、取り扱いが面倒です。同値な条件はいくつか知られています。その一つに\rho \succeq 0 \Leftrightarrow すべての主小行列式がゼロ以上、というのがあります(佐竹線形代数p.163 §4, 定理6 とその脚注参照)
これを使うと、密度行列の要素から有限個の不等式で書き下すことができます。

今回は3準位系の密度行列\rhoに対する条件を、密度行列の要素の不等式で書き下す、ということをしてみます。
三準位系では、3\times 3の密度行列になり、主小行列式は2^3=8個でてきます(n \times nだと2^n個となります)。今後のことを考えると、減らしたいところです。ところで、半正定値条件でなく、正定値条件\rho \succ 0は、\rhoのすべての主座小行列式がゼロと同値なので、3個、n \times nの密度行列でもn個の行列式を調べるだけでokです。これに還元してやるという手法を考えます。
その前に\mathbb{R} \ni x, \varepsilon についてx\geq 0 \Leftrightarrow \forall{}\varepsilon>0, x+\varepsilon > 0です(対偶をとると、\exists \varepsilon >0, x+\varepsilon \leq 0 \Leftrightarrow x < 0なので、自明になります)。同様に\rhoの半正定値条件は、\rho\succeq 0 \Leftrightarrow\forall{}\varepsilon>0,\quad \rho+\varepsilon I \succ0となり、\rho+\varepsilon Iの首座行列式たちを考えて、\varepsilonのべきでまとめ、各項を精査するという方針をとります。Iはn\times nの単位行列です。
堀田量子本には、3準位系の密度行列\rhoに対する条件は露わには書いてありませんでした。Phys. Lett. A 314, 339 (2003)を参照せよとあります。今回は、そのarXiv版であるhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0301152 を参照しつつ、見てゆきましょう。
この場合、式(3.15)は変更され、
\hat{\lambda}_{n}^{\dagger}=\hat{\lambda}_{n}, \operatorname{Tr}\left[\hat{\lambda}_{n}\right]=0, \operatorname{Tr}\left[\hat{\lambda}_{n} \hat{\lambda}_{n^{\prime}}\right]=N \delta_{n n^{\prime}}
から、
\hat{\lambda}_{n}^{\dagger}=\hat{\lambda}_{n}, \operatorname{Tr}\left[\hat{\lambda}_{n}\right]=0, \operatorname{Tr}\left[\hat{\lambda}_{n} \hat{\lambda}_{n^{\prime}}\right]=2 \delta_{n n^{\prime}}
と定数が変わります。
それに伴い、密度行列も
\hat{\rho}=\frac{1}{N}\left(\hat{I}+\sum_{n=1}^{N^{2}-1}\left\langle\lambda_{n}\right\rangle \hat{\lambda}_{n}\right)
から、
\hat{\rho}=\frac{1}{N} \hat{I}+\frac{1}{2} \left ( \sum_{n=1}^{N^{2}-1}\left\langle\lambda_{n}\right\rangle \hat{\lambda}_{n} \right )という式を使うように変更します。

from sympy import *

var('λ1:18', real=True)

(λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, λ6, λ7, λ8, λ9, λ10, λ11, λ12, λ13, λ14, λ15, λ16, λ17)

e=Symbol('epsilon', real=True)

_λ1=Matrix([[0,1,0],[1,0,0],[0,0,0]])
_λ2=Matrix([[0,-I,0],[I,0,0],[0,0,0]])
_λ3=Matrix([[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,0]])
_λ4=Matrix([[0,0,1],[0,0,0],[1,0,0]])
_λ5=Matrix([[0,0,-I],[0,0,0],[I,0,0]])
_λ6=Matrix([[0,0,0],[0,0,1],[0,1,0]])
_λ7=Matrix([[0,0,0],[0,0,-I],[0,I,0]])
_λ8=1/sqrt(3)*Matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-2]])
_λ8

Matrix([
[sqrt(3)/3,         0,            0],
[        0, sqrt(3)/3,            0],
[        0,         0, -2*sqrt(3)/3]])

(_λ8*_λ8).trace()

2

密度行列\rho = \frac{1}{3}\hat I + \frac{1}{2}(\hat \lambda_1 \lambda_1+ \hat \lambda_2 \lambda_2 + \hat \lambda_3 \lambda_3+ \hat \lambda_4 \lambda4 + \hat \lambda_5 \lambda_5+ \hat \lambda_6 \lambda_6+ \hat \lambda_7 \lambda_7+ \hat \lambda_8 \lambda_8) を代入します

ρ3= Rational(1,3)*eye(3) + Rational(1,2)*(_λ1*λ1 + _λ2*λ2 + _λ3*λ3 + _λ4*λ4 + _λ5*λ5 + _λ6*λ6 + _λ7*λ7 + _λ8*λ8)
ρ3

Matrix([
[λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3,              λ1/2 - I*λ2/2,       λ4/2 - I*λ5/2],
[            λ1/2 + I*λ2/2, -λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3,       λ6/2 - I*λ7/2],
[            λ4/2 + I*λ5/2,              λ6/2 + I*λ7/2, -sqrt(3)*λ8/3 + 1/3]])

ρ3.trace()

1

まずは、手始めに\rhoの行列式を求めてみましょう。

ρ3.det()*54*4
ρ3_det=ρ3.det()*54*4
ρ3_det

18*sqrt(3)*λ1**2*λ8 - 18*λ1**2 + 54*λ1*λ4*λ6 + 54*λ1*λ5*λ7 + 18*sqrt(3)*λ2**2*λ8 - 18*λ2**2 - 54*λ2*λ4*λ7 + 54*λ2*λ5*λ6 + 18*sqrt(3)*λ3**2*λ8 - 18*λ3**2 + 27*λ3*λ4**2 + 27*λ3*λ5**2 - 27*λ3*λ6**2 - 27*λ3*λ7**2 - 9*sqrt(3)*λ4**2*λ8 - 18*λ4**2 - 9*sqrt(3)*λ5**2*λ8 - 18*λ5**2 - 9*sqrt(3)*λ6**2*λ8 - 18*λ6**2 - 9*sqrt(3)*λ7**2*λ8 - 18*λ7**2 - 6*sqrt(3)*λ8**3 - 18*λ8**2 + 8

上式はゼロ以上です(必要ないですが、216を掛けました。比較しやすくするためです)。以下に、文献の(31)式を引用しました。

これらを比較すると、(i) 式全体の符号が違います。(ii) -9 \sqrt{3}(2\left(\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}\right)-\left(\lambda_{4}^{2}+\lambda_{5}^{2}+\lambda_{6}^{2}+\lambda_{7}^{2}\right)) ではなく、-9 \sqrt{3}(2\left(\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}\right)-\lambda_8\left(\lambda_{4}^{2}+\lambda_{5}^{2}+\lambda_{6}^{2}+\lambda_{7}^{2}\right))と\lambda_8が入ってきてます。おそらく論文のミスでしょう。
論文では条件式がこれで終わってます。我々の場合はこれだと不十分で、主行列式を調べつくす必要があります。おそらく、独立な不等式ではなく、徒労に終わると思われますが、調べる必要はあります。まずは、\rho + \varepsilon Iを求めてみます。

ρ3_e= Rational(1,3)*eye(3) + Rational(1,2)*(_λ1*λ1 + _λ2*λ2 + _λ3*λ3 + _λ4*λ4 + _λ5*λ5 + _λ6*λ6 + _λ7*λ7 + _λ8*λ8) + eye(3)*e
ρ3_e

Matrix([
[epsilon + λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3,                       λ1/2 - I*λ2/2,                λ4/2 - I*λ5/2],
[                      λ1/2 + I*λ2/2, epsilon - λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3,                λ6/2 - I*λ7/2],
[                      λ4/2 + I*λ5/2,                       λ6/2 + I*λ7/2, epsilon - sqrt(3)*λ8/3 + 1/3]])

上の行列の正定値条件は調べる必要はありません。何故ならば、すでに調べているからです。問題は、この行列のすべての首座小行列式を調べることです。まずは、2x2行列を調べましょう

ρ3_2=ρ3
ρ3_2.col_del(2)
ρ3_2.row_del(2)
ρ3_2

Matrix([
[λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3,              λ1/2 - I*λ2/2],
[            λ1/2 + I*λ2/2, -λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3]])

ρ3_2_e = ρ3_2 + eye(2)*e

ρ3_2_e.det()

epsilon**2 + sqrt(3)*epsilon*λ8/3 + 2*epsilon/3 - λ1**2/4 - λ2**2/4 - λ3**2/4 + λ8**2/12 + sqrt(3)*λ8/9 + 1/9

collect(ρ3_2_e.det()*4*9,e)

36*epsilon**2 + epsilon*(12*sqrt(3)*λ8 + 24) - 9*λ1**2 - 9*λ2**2 - 9*λ3**2 + 3*λ8**2 + 4*sqrt(3)*λ8 + 4

上の式ですべての\varepsilonで成立させるには、-9 \lambda_{1}^{2}-9 \lambda_{2}^{2}-9 \lambda_{3}^{2}+3 \lambda_{8}^{2}+4 \sqrt{3} \lambda_{8}+4 > 0が必要だということです。さらに、-9 \lambda_{1}^{2}-9 \lambda_{2}^{2}-9 \lambda_{3}^{2}+3 \lambda_{8}^{2}+4 \sqrt{3} \lambda_{8}+4 =0のときは、12\sqrt{3}\lambda_8 + 24 >0が必要となります。
これらが独立であるかは簡単にはわかりません。実際、一番初めに求めた式の\lambda_4, \lambda_5, \lambda_6, \lambda_7に0を代入してみると、

ρ3_det.subs(λ4,0).subs(λ5,0).subs(λ6,0).subs(λ7,0)/2

9*sqrt(3)*λ1**2*λ8 - 9*λ1**2 + 9*sqrt(3)*λ2**2*λ8 - 9*λ2**2 + 9*sqrt(3)*λ3**2*λ8 - 9*λ3**2 - 3*sqrt(3)*λ8**3 - 9*λ8**2 + 4

となり、かなり似た式が出てきて、多分独立ではなさそうな雰囲気ですが、確固としたことは言えません。
最後の首座行列式は一つの不等式です。

ρ3_2
ρ3_2.col_del(1)
ρ3_2.row_del(1)
ρ3_2

Matrix([[λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3]])

ρ3_2.det()

λ3/2 + sqrt(3)*λ8/6 + 1/3

これも0以上である必要があります。ただ、これも、独立ではなさそうな気がしますが、わかりません。
これは学術論文ではないので、とりあえず簡単にここまでにしておきます。いずれにせよ、わかるのは、2準位系のときの単なる球ではなく、3準位系での密度行列が満たすべき条件、特に半正定値条件は複雑な\lambdaたちの多項式の不等式になるということです。さらに、求めた不等式たちは正しいのですが、独立かどうかはわからないということです。おそらく独立ではないと思います。いずれにせよ、どの不等式も満たす必要はありますし、満たした暁にはその密度行列は、3準位系の密度行列であるということではあります。