行間を埋める: 堀田量子p.43 式(3.15) 付近の、N準位系のすべての物理量 (エルミート演算子) を作る基底について(II)

前回からの続きです。

量子力学はエルミート行列を物理量とします。(3.15)では、$N\times N$ エルミート行列の作る$N^2$ 次元実ベクトル空間を考えていて、その基底を考えます。

$2\times 2$ エルミート行列では、Pauli行列がそれにあたります。具体的に書いてみると、

$\hat{\sigma}_{x}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \hat{\sigma}_{y}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right), \hat{\sigma}_{z}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$

です。一つ足りませんが、これは$\hat{I}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ です。2x2=4、ちゃんと数はあっていますね。この四つの行列$\hat{I}, \hat{\sigma}_{x}, \hat{\sigma}_{y}, \hat{\sigma}_{z}$ を使うと任意のエルミート行列を書き下すことができます。まず、非対角要素は自明ですが一応確認しておくと。$\alpha \hat{\sigma}_{x} + \beta \hat{\sigma}_{y}$ とすれば、$\left(\begin{array}{cc} 0 & \alpha - i\beta \\ \alpha + i\beta & 0 \end{array}\right)$ となって、

任意の値を指定することができます。では、対角要素を$\left(\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array}\right)$ と指定したいとなると、$\frac{a+b}{2} \hat{I} + \frac{a-b}{2} \hat{\sigma_z}$ とするとよいことがわかります。この教科書では、$\hat{I}$ はtraceが0でないので除外してます。このようにして、$\frac{a+b}{2} \hat{I} + \frac{a-b}{2} \hat{\sigma_z}$+$\alpha \hat{\sigma}_{x} + \beta \hat{\sigma}_{y}$を考えると、好きな値を行列の要素にすることができます。これで$2\times 2$ エルミート行列をすべて尽くせました! つまり、$\hat{I}, \hat{\sigma}_{x}, \hat{\sigma}_{y}, \hat{\sigma}_{z}$は$2\times 2$ エルミート行列というベクトル空間の基底となるベクトル(行列)ということになります。

さて、内積についても考えておきましょう。$N\times N$ エルミート行列の作る$N^2$ 次元実ベクトル空間には実ベクトル空間と同じような内積がトレースによって自然に定義されます。$N$ 次元複素ベクトル空間の内積の定義は、$a\cdot b = \sum_i a^*_i b_i$ でした。これをエルミート行列$A, B$ をベクトルとみなしたベクトルでの内積は$\operatorname{Tr} (AB)$ となります。これはとても自然な拡張です。実際、一つ一つ追ってやると、

$\sum_{i,j=1}^N A^*_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j=1}^N A_{ji} B_{ij} = \sum_{i,j=1}^N A_{ij} B_{ji} = \operatorname{Tr} (AB)$

と単に行列をベクトルのように並べなおしただけ、となっています。ここで実ベクトル空間なのに複素共役をとって内積を定義しているが気になる方はいらっしゃると思いますが、この内積は実数になることが示せますので、実ベクトル空間の内積だと思ってよいのです。ここは不思議な感じもしますね、ただ、考えてるのはあくまで$N^2$ 次元実ベクトル空間です。想像力をたくましくすると、複素数はベクトルとも思えます。a+biと書いて一つの数字と思ってますから。同じ要素にあるのですが、そこだけ二次元に分かれていて別次元にあると考えればよいでしょう。そうすると、$\operatorname{Tr} (\hat{\sigma}_{x} \hat{\sigma}_{y}) = 0$ などは自明になります。

続く。