SU(n)はトレース0のエルミート行列によってすべて生成される

SU(n)の任意の要素がそのリー代数である(n,n)(n, n) 次元のトレース0のエルミート行列たちによって生成されることを見ます。

これまでの議論で、SU(n)の要素UU は、U(n)の要素VV

U=Vdiag(expiθ1,expiθ2,expiθ3,,expiθn)VU= V^\dagger {\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i \theta_2, \exp i \theta_3, \cdots, \exp i \theta_n) V

と対角化できますが、SU(n)なので行列式が1つまり、

expi(θ1+θ2+θ3+θn)=1\exp i(\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots \theta_n) = 1

の条件が付きます。これから一般性を失ずに

θ1+θ2+θ3+θn=0\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots \theta_n = 0

であると仮定します。このθi\theta_i を使って、トレース0のエルミート行列を作ることができます。

H=Vdiag(θ1,θ2,θ3,,θn)VH=V^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) V

当然、この行列はリー代数su(n)の基底の線形結合で作ることができるので、SU(n)の元がすべて生成されることが分かります。


途中U(n)の元で対角化したり、エルミート行列を作ったりしますが、SU(n)であることや、エルミート性も問題なく保存されていることも確認できます。

Nakata Maho
RIKEN
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