SU(n)はトレース0のエルミート行列によってすべて生成される

SU(n)の任意の要素がそのリー代数である$(n, n)$ 次元のトレース0のエルミート行列たちによって生成されることを見ます。

これまでの議論で、SU(n)の要素$U$ は、U(n)の要素$V$ で

$U= V^\dagger {\rm diag} (\exp i \theta_1, \exp i \theta_2, \exp i \theta_3, \cdots, \exp i \theta_n) V$

と対角化できますが、SU(n)なので行列式が1つまり、

$\exp i(\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots \theta_n) = 1$

の条件が付きます。これから一般性を失ずに

$\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots \theta_n = 0$

であると仮定します。この$\theta_i$ を使って、トレース0のエルミート行列を作ることができます。

$H=V^\dagger {\rm diag} (\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_n) V$

当然、この行列はリー代数su(n)の基底の線形結合で作ることができるので、SU(n)の元がすべて生成されることが分かります。

途中U(n)の元で対角化したり、エルミート行列を作ったりしますが、SU(n)であることや、エルミート性も問題なく保存されていることも確認できます。