32回目、堀田昌寛さんの
「入門 現代の量子力学 量子情報・量子測定を中心として」
を読んでいきます。
Chap8.5 Nの固有状態の位置表示波動関数からです。8.2では、状態空間の基底を抽象的に定義しました。それの具体的な波動関数の形をつくってみるということをするわけです。これはx, pの定義の仕方によるので、多分他の表示の仕方もあるのだと思います。今回選んだのはたぶんスタンダードなものなんでしょう。基底は、エルミート多項式にgauss関数がかかったものになってます。アレ、これ調和振動子の波動関数じゃないか、と思う方もいらっしゃると思います。
話題は変わりますが、フーリエ変換は線形演算子で、ユニタリでもあります。というと、固有ベクトルと固有値を考えたくなります。これは、+-i, +-1 と四つ固有値があり、先ほどの基底が固有ベクトルとなります。
ここらへんはつながっているのでしょう。もう少し具体的なつながりを見たいところですが、僕の知識だとこれくらいの鱗片だけしか見えなかった。すいません
https://mathlog.info/articles/2871 も
も参考になります。
多分、一次元の箱の中の自由粒子になるようなx, pの定義の仕方もあるんだろうなと思います。
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