たかが一行の式の理解にやたら時間がかかってます。
これを3×33\times 33×3 エルミート行列に拡張してみましょう。一気に3x3=9個も行列が出てきますが、構造は難しくありません。非対角要素は簡単です。とりあえず、(i,j) 要素に1、(j,i)要素に1 を埋めた行列、(i,j) 要素に-i、(j,i)要素にiを埋めた行列を用意すればいいだけです。これはN2−NN^2-NN2−N 個あります。3x3の場合は6個です。
λ1=(010100000)\lambda_{1}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)λ1=⎝⎛010100000⎠⎞ λ2=(0−i0i00000)\lambda_{2}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)λ2=⎝⎛0i0−i00000⎠⎞ λ4=(001000100)\lambda_{4}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)λ4=⎝⎛001000100⎠⎞ λ5=(00−i000i00)\lambda_{5}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{array}\right) λ5=⎝⎛00i000−i00⎠⎞ λ6=(000001010)\lambda_{6}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) λ6=⎝⎛000001010⎠⎞ λ7=(00000−i0i0)\lambda_{7}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{array}\right) λ7=⎝⎛00000i0−i0⎠⎞
これはすぐわかりますね。これらが線形独立であること、実数で線形結合をとることでエルミート行列の非対角要素に任意の値を入れられることは2x2の場合を拡張することですぐわかります。
次に対角要素が問題になります。まず、単位行列はトレースが0ではないので(3.15)には入ってきませんが、考える必要はあります。次にσ^z\hat \sigma_zσ^z を3x3に拡張した行列λ3\lambda_3λ3 を入れておきましょう
I=(100010001)I=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)I=⎝⎛100010001⎠⎞ λ3=(1000−10000)\lambda_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)λ3=⎝⎛1000−10000⎠⎞
を入れておきましょう。そうすることで次元の拡張がスムーズになります。さてこれであと一つです。こいつがちょっとトリッキーです。もったいぶらずに答えを与えると
λ8=(10001000−2)\lambda_{8}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)λ8=⎝⎛10001000−2⎠⎞
となります。すると
Tr(I^λ3)=0,Tr(I^λ8)=0,Tr(λ3λ8)=0\operatorname{Tr} (\hat I \lambda_3) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\hat I \lambda_8) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\lambda_3 \lambda_8) = 0Tr(I^λ3)=0,Tr(I^λ8)=0,Tr(λ3λ8)=0
が一気にほとんど自明にわかります。(定数をのぞいて)このような行列はGell-Mann行列と呼ばれます。この対角要素、なかなかきれいな構造になってますね。作り方も簡単ですし。
四次元への拡張も簡単です。15個も行列が出てくるので、めんどくさいです。非対角要素に成分を持つのは自明に出てくるので、対角要素を成分に持つもののみ、具体的に書いておきましょう。
I=(1000010000100001)λa=(10000−10000000000)λb=(1000010000−200000)λc=(100001000010000−3)I=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \lambda_{a}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \lambda_{b}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \lambda_{c}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ \end{array}\right)I=⎝⎛1000010000100001⎠⎞λa=⎝⎛10000−10000000000⎠⎞λb=⎝⎛1000010000−200000⎠⎞λc=⎝⎛100001000010000−3⎠⎞
Tr(I^λa)=0,Tr(I^λb)=0,Tr(I^λc)=0,Tr(λaλb)=0,Tr(λbλc)=0,Tr(λc,λa)=0\operatorname{Tr} (\hat I \lambda_a) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\hat I \lambda_b) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\hat I \lambda_c) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\lambda_a \lambda_b) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\lambda_b \lambda_c) = 0, \quad \operatorname{Tr} (\lambda_c, \lambda_a) = 0Tr(I^λa)=0,Tr(I^λb)=0,Tr(I^λc)=0,Tr(λaλb)=0,Tr(λbλc)=0,Tr(λc,λa)=0
これも秒でわかります。これ以上の次元への拡張は自明でしょう。説明の必要すら感じません。行列にかかる係数は適当に調節してください。
これで(3.15)は完全に理解できた！やったね！おつかれさまでした。
さて、今回出した表現は一意ではありません。他にも表現はあります。単に一つ、量子力学でよく使われている表現を出したまでです。数学と物理では、虚数の使い方に流儀があったり、規格化定数に流儀があったりで、ちょっと違うので、とまどうかもしれません。どちらの流儀もリーズナブルですが、どの流儀かは注意して読む必要があります。