ベイズ推定量子位相推定。

今回は、ベイズ位相推定を利用して複数状態における位相と固有値、固有状態を同時に計算する、ベイジアン量子位相推定の方法を解説します。このアルゴリズムは、通常の量子位相推定とだいぶ方法が違います。このアルゴリズムは図1の回路を利用します。この回路はdこの状態に相当する標的ビット群と、d+1次元の制御演算空間からなります。量子計算機は2n次元の空間を扱うのが構造上無難なため、d+1=2ⁿとした方がいいです。ここで、H^d+1は通常のアダマールゲートではなく、 $\langle m \mid H^{d+1} \mid n \rangle=e^{-2\pi i nm/(d+1)}/\sqrt{d+1}$ を満たすゲート、S_φ^d+1は対角項に $\langle n \mid S_\phi^{d+1}\mid n \rangle=e^{-i\phi_n}$ を掛けるためのゲートです。φ_nはランダムに決定される位相です。また、UCは制御ビット群が $\mid d \rangle$ の場合のみ標的ビット群における各状態にUを掛けるゲートです。この回路を作用させて、最終的にθ_nを状態nの固有位相として、状態oにおける位相φ、Mに対する存在確率は、

$P(o\mid \theta,\phi,M)=\frac{1}{(d+1)^2}(d+1+2\sum_n cos[M\theta_n+\beta_n]+2\sum_{n<m}cos[M(\theta_n-\theta_m)+\gamma_{nm}])$ -(1)

$\beta_n=\phi_n-\phi_0+\frac{2\pi no}{(d+1)}, \gamma_{nm}=\phi_n-\phi_m+\frac{2\pi(n-m)o}{(d+1)}$

とします。そこからベイズ確率分布

$P(\zeta\mid o, \phi, M)=\frac{P(o\mid \theta,\phi,M)P(\zeta)}{\int d^d\zeta P(o\mid \zeta, \phi, M)P(\zeta)}$ -(2)

を計算します。それらを含む全体の流れは図2に示しました。

このアルゴリズムを含めて、量子位相推定の研究は近年急速に発展しました。そうしてその派生形、発展系が複数でき、エラー確率の議論もなされ始めました。この分野はまだこれからです。

図1 ベイジアン量子位相推定の回路。

図2 ベイジアン量子位相推定のフローチャート。

[2010.09075] Bayesian Quantum Multiphase Estimation Algorithm (arxiv.org)

ベイジアン量子位相推定。

Hikaru Wakaura