この記事は、前回「<a href="https://blueqat.com/H.Wakaura/0043bbaf-0044-452e-9e71-c154905ef44c" rel="noopener noreferrer" target="_blank">初心者向けSubspace-Search Variational Quantum Eigensolver(SSVQE)の解説 | blueqat</a>」の続きです。今回は水素分子における基底状態と励起状態のエネルギー準位を計算します。 今回は、UCCSDをクラスターとして利用し、深さ2のSTO-3Gの第二量子化されたハミルトニアンをBravyi-Kitaev変換して使いました。両者の深さは2です。望む状態のみを計算するために、条件項を評価式に加え、評価関数は、 ﻿<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>F</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">⟨</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mi>j</mi></msub><mo>∣</mo><mi>H</mi><mo>∣</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mi>j</mi></msub><mo stretchy="false">⟩</mo><mo>+</mo><msub><mo>∑</mo><mi>k</mi></msub><mo>∣</mo><mo stretchy="false">⟨</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mi>j</mi></msub><mo>∣</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>U</mi><mi>k</mi></msub><mo>−</mo><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>∣</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mi>j</mi></msub><mo stretchy="false">⟩</mo><mo>∣</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">F(\theta)=\sum_{j=0}\langle \Phi_j \mid H \mid \Phi_j \rangle + \sum_k \mid \langle \Phi_j \mid (U_k - U_k^{aim.})\mid \Phi_j \rangle \mid</annotation></semantics></math>F(θ)=∑j=0​⟨Φj​∣H∣Φj​⟩+∑k​∣⟨Φj​∣(Uk​−Ukaim.​)∣Φj​⟩∣﻿ としました。ここで﻿<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>U</mi><mi>k</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">U_k</annotation></semantics></math>Uk​﻿ 、﻿<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">U_k^{aim.}</annotation></semantics></math>Ukaim.​﻿ はそれぞれ条件とするオブサーバブルとその目的とする値です。今回は磁気モーメントとスピンの二乗、電子数とします。最適化手法にはPowell法とBFGS法を使い、それぞれにおける計算結果を比較します。それぞれにおける計算反復回数は2000回と22回です。それぞれで水素分子における基底状態、三重項状態、一重項状態、二電子励起状態の4準位を2準位ずつ原子間距離0.1から2.5(Å)までの範囲で0.1刻みで計算した結果を図1に示す。図1(Powell)を見るに、基底状態、三重項状態においてはエネルギー準位における厳密解にほぼ一致していますが、一重項状態と二電子励起状態においては外れています。対して、図1(BFGS)を見るに、全状態がほぼ厳密解に一致しています。二電子励起状態だけが少し厳密解の下にある程度となります。Powell法を用いた場合、これは通常のVQE法における計算精度に劣ります。逆にBFGS法を用いた場合はほぼ同等となります。つまり、このアルゴリズムは最適化手法によって、通常のVQEにおける計算結果と精度の良しあしが変わるのです。 <img src="https://assets.blueqat.com/public/uploads/us-east-2:62eba507-efdc-48b7-85a9-2f09d417847c/2021/02/23/Figssvqetemp1.png"/>図1 Powell法、BFGS法のそれぞれで水素分子における基底状態、三重項状態、一重項状態、二電子励起状態をSSVQE法で計算した結果。 しかしながら通常のVQE法における計算と比較して、計算時間はわずかにかかります。また、4準位を一度に計算する場合は、これより少し各準位の精度が落ちます。より多くの準位を高精度で計算するには、まだまだ改善の余地があるように思われます。 次は、非対角項計算手法を説明し、実際に遷移行列と遷移双極子を計算します。

初心者向けSubspace-Search Variational Quantum Eigensolver(SSVQE)の解説【実践編】

Hikaru Wakaura