こんにちは。

今回の記事から、量子位相推定アルゴリズムの理解およびblueqatでの実装を目標として

いくつか記事を書いてみたいと思います。

今回は位相差検出アルゴリズム(勝手に名付けました)をやってみます。

以下のような入力量子状態を考えます。

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+e^{i0}|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$

$|0\rangle$と$|1\rangle$が同位相(位相差0)で重ね合わされています。

blueqatで生成してみます。

+(0.71+0.00j)|0>+(0.71+0.00j)|1>

確かに生成できています。

この状態に、アダマールゲート$H$を掛けると、以下のようになります。

$H|\psi\rangle = H(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+e^{i0}|1\rangle)) = |0\rangle$

blueqatでは、

+(1.00+0.00j)|0>+(0.00+0.00j)|1>

もう一つ、異なる入力量子状態を考えてみます。

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+e^{i\pi}|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$

$|0\rangle$と$|1\rangle$が逆位相（位相差$\pi$)で重ね合わされています。

この状態に、アダマールゲート$H$を掛けると、以下のようになります。

$H|\psi\rangle = H(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+e^{i\pi}|1\rangle)) = |1\rangle$

blueqatでも同様の結果を確かめておきます。 入力量子状態は、

+(0.71+0.00j)|0>+(-0.71+0.00j)|1>

アダマールゲートを作用させると、$|1\rangle$になります。

+(0.00+0.00j)|0>+(1.00+0.00j)|1>

以上の結果を整理すると

• 位相差が$0$であれば、アダマールゲートにより$|0\rangle$が検出され、
• 位相差が$\pi$であれば、アダマールゲートにより$|1\rangle$が検出される。

となります。

量子コンピュータ、量子状態といえども、$0$か$1$かの2進数で数値を表現することに変わりはありません。

位相$\theta$を2進数で表示することを考えます。特に量子アルゴリズムでは、$\theta$を$2\pi$で規格化した規格化位相を

2進小数で表現することが多いです。

例えば、2進小数1桁表示のときは

• $\theta=0$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=0$ であるから、$\theta_{binary} = 0.0$と書きます。

• $\theta=\pi$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}$ であるから、$\theta_{binary} = 0.1$と書きます。

2進小数2桁表示のときは

• $\theta=0$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=0$ であるから、$\theta_{binary} = 0.00$

• $\theta=\frac{\pi}{2}$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=\frac{1}{4}$ であるから、$\theta_{binary} = 0.01$

• $\theta=\pi$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}$ であるから、$\theta_{binary} = 0.10$

• $\theta=\frac{3\pi}{2}$のとき、$\frac{\theta}{2\pi}=\frac{3}{4}$ であるから、$\theta_{binary} = 0.11$

つまりところ、規格化位相$\frac{\theta}{2\pi}$を$\sum a_{n}2^{-n}$と展開した時、2進小数表示は$0.a_{1} a_{2}....$のようになります。

この記法を用いて、先程の位相差検出アルゴリズムを書くと、

$H|\psi\rangle = H(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+e^{i*0.j}|1\rangle)) = |j\rangle$

このようになります。

($j=0$ or $1$ であることに注意すると、難しくないです。)

位相差を2進小数表示でみている人にとっては、

$H$ゲートとは、位相差の1桁目を読み出して1量子ビットの状態に書き写す操作である。

と考えることが出来ます。

2進小数表示の桁数が2桁に増えた場合はどうなるでしょうか？

直感的には、書き出し先の量子ビットを2ビットに増やせばよさそうです。

そして、第一量子ビットには1桁目、第二量子ビットには2桁目を書き込めば良いのでしょう。

あるいは、1桁目読み出し→桁シフト→1桁目読み出し　でも良さそうですね。これなら量子ビットは1つで良さそうです。

でも桁シフトした結果、溢れた桁はどこへいくのでしょう？？　そもそもどうやって桁シフトを実現するのでしょう？

この話は、次の記事に回したいと思います。