前回に利用した位相キックバックアルゴリズム を改良していきます。

位相キックバックは、位相シフト操作$e^{i\theta}$（ただし$\theta=0$ or $\pi$)が与えられた時、それを別の1量子ビットの$|0 \rangle$ と $|1 \rangle$の位相差として移し取り、$H$ゲートの作用によりそれが$0$なのか$\pi$なのか検出する1量子ビットのアルゴリズムでした。

これを$\theta=0$ or $\pi$よりも高い分解能となるように拡張します。

具体的に $\theta = \pi/4$ の場合を考えます。

このとき、位相角を$4$倍すると、$4\theta = \pi$ となります。 位相が$\pi$に変換されていますので、位相キックバックができる形です。

つまり、位相シフト操作$e^{i\theta}$を4回行ったものに対して位相キックバックを行い、 得られた位相を後で（古典的に）$1/4$倍すればよいことになります。

同様に、位相角が$\theta = 2\pi/2^{N}$のときは、 位相シフト操作$e^{i\theta}$を$2^{N-1}$回行えばよいです。

問題は、位相角が半端な値で　 $\theta = 2\pi(1/8+1/4+1/2) = 14\pi/8$ のような時です。

この場合、少し工夫してやると$1/8$,$1/4$,$1/2$の部分を順繰り推定することができます。

• まず、$1/8$の部分を取り出すために、位相シフト操作$e^{i\theta}$を$2^2$回数行います。

すると、$4\theta = 2\pi(1/2+1+2)$ となります。

$e^{i2n\pi}=1$ですから、元の$1/4$,$1/2$の部分が何であったとしても、無視され、$1/8$の部分（つまり$\pi/4$)が位相$\pi$に移されており、位相キックバックができる形です。

• 次に$1/4$の部分を取り出します。

位相シフト操作$e^{i\theta}$を$2^1$回数行います。

$2\theta = 2\pi(1/4+1/2+1)$ となります。

再び$e^{i2n\pi}=1$より、元の$1/2$の部分は無視できています。

取り出したい$1/4$の部分は位相$\pi$に移されますので位相キックバックができる形です。

しかし、要らない$1/8$の部分が$\pi/2$という形で残ってしまっています。

だめじゃないか！　と思うわけですが、

$1/8$の部分というのは先程推定した位相なので、実は既知です。

なので、先程の推定結果が$0$、即ち$0$[rad]だった場合は$0*\pi/2=0$なので何もする必要がなく、

先程の推定結果が$1$、即ち$\pi$[rad]だった場合は、今は$\pi/2$という形で残っているはずですので$e^{-i\pi/2}$を（量子ゲートとして）掛けることでキャンセルします。

• 最後に$1/2$の部分を取り出します。

位相シフト操作$e^{i\theta}$を$2^0$回数行います。

$1\theta = 2\pi(1/8+1/4+1/2)$ となります。

やはり $1/8$および$1/4$の部分というのは先程推定した位相なので、既知です。

検出結果に応じて$e^{-i\pi/4}$および$e^{-i\pi/2}$の項を相殺します。

このように、先に確定した桁の情報を使って古典的なif処理を行い、不要な部分を打ち消しながら順繰り1桁ずつ推定し、確定させていきます。

この操作により、位相は$2\pi/2^{N}$の精度で推定できます。

上記のような方法で、決めた精度で位相の推定が可能となります。 応用例として、ユニタリ行列の固有値の位相推定に使うことが出来ます。

これを反復量子位相推定と言います。

反復量子位相推定の場合、量子ビットは制御用に1bit,標的用に1bitの合計2bitあればよく、代わりにこの回路と測定を$N$度繰り返しています。

量子ビット数が一度に$N+1$個用意できる場合は、この操作を同時に（並列に）行うができ、たった1つの回路で終了します。

これを 量子位相推定 と呼びます。

blueqatで量子位相推定の回路を作ってみます。 この回路を覚える必要はなく、上述のような””考え方”がわかっていれば良いかと思います。

$U = [1, 0 ; 0, e^{i\pi/4}]$ とし、入力する固有ベクトルは$|1 \rangle$, 対応する固有値の位相$\pi/4=2\pi(1/8)$を読み出してみます

'Counter({'1001': 1024})' と出ます。

'1001'のうち、右端の量子ビット'1'は、固有ベクトル入力$|1 \rangle$がそのまま出てきているだけです。

読み出し結果としては'100'で、左端の量子ビットが$\pi/4=2\pi(1/8)$の存在を意味しています。

その隣は、$\pi/2=2\pi(1/4)$、その隣は$\pi=2\pi(1/2)$の存在に相当します。

つまり　$2\pi(1(1/8)+0(1/4)+0(1/2))$ ということです。

少し$U$をかえて、$U = [1, 0 ; 0, e^{i\pi/2}]$ とし、入力する固有ベクトルは$|1 \rangle$, 対応する固有値の位相$\pi/2=2\pi(1/4)$を読み出してみます。

Counter({'0101': 1024}) となります。つまり読み出し結果は010で、$2\pi(0(1/8)+1(1/4)+0(1/2))$ を意味しています。

以上、量子位相推定アルゴリズムの紹介でした。