トロッター展開を導く理論と数式

トロッター展開を導く理論と数式

§ この記事の目的

第四回量子説明コンテスト「量子断熱時間発展とトロッター展開」のトロッター展開について、数式や理論を確認してみたいと思います。

§ 量子断熱時間発展について

量子断熱時間発展については、以下の投稿記事の章番号「3. 量子断熱計算(QAA)を引用する」に解説してみましたので、そちらを参照して頂けましたら幸いです。

■量子コンピュータの応用 - QAOAの仕組みとこれを応用した組合せ最適化問題のプログラミング(blueqat編)
https://blueqat.com/tetsurotabata/3a8425d5-68a3-4a8b-9773-2c3940bf5898

§ トロッター展開とは

書籍によっては「鈴木・トロッター展開」や「リー・トロッター積公式」と書かれたりします。
数学の「リー群」や「リー代数」の分野で出て来る式で、実正方行列または複素正方行列について、以下が成り立ちます。

定理
 2つの同じ次数(行数と列数が等しい)の行列X及びYを実正方行列または複素正方行列、kを整数として、

$$ \lim_{k \to \infty}\left{exp\big(\frac{X}{k}\big)exp\big(\frac{Y}{k}\big)\right}^k = exp(X+Y)\quad(式1) $$

ここで注意が必要です。ここで論じられるのは、行列を指数に取り入れた際の数式で、指数行列行列指数関数などと呼ばれ、私たちが高校などで学習した実数の指数とはルールが異なります。
指数に行列を入れるということ自体が想像を絶する世界ですが、一から定義を確認すれば納得できるものと言えます。
トロッター展開式がどのような根拠で導かれるのか確認します。

§ 定義及び公式を確認

行列指数関数についていくつかの定義及び公式を確認します。

定義1
 文字式を以下のように表すことがありますが、この記号O(アルファベットのO)をランダウ記号と呼びます。
 例えば $O(t^3)$と書くと、高々tの3次の文字式を意味します。

$$ O(t^3)\quad(定義1)\ [例]\quad O(t^3)=3t^3+\frac{2}{5}t^2+\sqrt{5}t+8 $$

定義2
 行列の指数関数の定義です。tを実数、Xを行列として以下のように定義します。

$$ e^{tX}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^{k}\quad(定義2) $$

定義3
 行列の対数関数の定義です。Eは単位行列です。

$$ \log X = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(X-E)^k\quad(定義3) $$

公式1
 tを実数、Xを行列として、以下の公式が成立します。

$$ (e^X)^t = e^{tX}\quad(公式1) $$

定義4
 行列X,Yを用いて[X,Y]と書き、記号[,]を交換子と呼びます。
 交換子は以下のように定義します。

$$ [X,Y] = XY - YX\quad(定義4) $$

 さらに、XY-YX=Oが成立する場合、XとYは可換であると言います。

公式2
 X,Yが可換である場合、以下が成立します(一般には成立しません)。

$$ e^{X+Y}=e^Xe^Y\quad(公式2) $$

公式3
 ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式
 $e^{tX}e^{tY}$を以下のように書き直すことができます。

$$ e^{tX}e^{tY} = \exp \bigg( \sum_{n=0}^{\infty}c_nt^n \bigg) \quad(公式3) $$

特に$c_0$~$c_3$を示すと、以下のようになります。

$$ c_0 = E\ c_1 = X + Y\ c_2 = \frac{[X,Y]}{2}\ c_3 = \frac{1}{12}[X-Y,[X,Y]] $$

公式4
 行列Xの対数の指数と取ると、行列そのものになります。

$$ exp(\log X) = X\quad(公式4) $$

§ トロッター展開を導く

トロッター展開を導く前に、以下の補題を確認します。

補題

$$ e^{tX}e^{tY} = exp\left{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right}\quad(補題) $$

まず、定義2を具体的に展開してみます。

$$ \begin{align}\ e^{tX} &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^k\ &= \frac{1}{0!}(tX)^0 + \frac{1}{1!}(tX)^1 + \frac{1}{2!}(tX)^2+...\ &= E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\quad(式1) \end{align} $$

$e^{tY}$も同様に展開します。

$$ \begin{align}\ e^{tY} &= E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\quad(式2) \end{align} $$

ここで、$Z$を以下のように定義します。

$$ Z=e^{tX}e^{tY}\quad(式3) $$

Zについて、(式1)(式2)を用いて計算すると、

$$ \begin{align}\ Z&=e^{tX}e^{tY}\ &=\bigg(E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\bigg)\bigg(E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\bigg)\ &=E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\quad(式4) \end{align} $$

次に、$e^{tX}e^{tY}$について、logを取ることを考えます。

$$ \log e^{tX}e^{tY}\quad(式5) $$

(式3)を代入すると、

$$ \log e^{tX}e^{tY} = \log Z\quad(式6) $$

(式6)の右辺について、(定義3)を用いて展開すると、

$$ \begin{align} \log Z &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(Z-E)^k\ &= \frac{(-1)^0}{1}(Z-E)^1 + \frac{(-1)^1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\ &= (Z-E) - \frac{1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\quad(式7) \end{align} $$

(式7)右辺のZに(式4)右辺を代入すると、

$$ \begin{align} \log Z &= \left{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right} -\frac{1}{2}\left{ E + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - E \right}^2 + O(Z^3)\quad(式8) \end{align} $$

ここで$O(Z^3)$について、

$$ \begin{align} O(Z^3)&=\frac{(-1)^2}{3}(Z-E)^3\ &=\frac{1}{3} \left{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right}^3\ &=O(t^3) \end{align} $$

とします。

(式8)をさらに展開して、

$$ \log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\ -\frac{1}{2}\left{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2) + O(t^3) \right}^2 + O(t^3)\ = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - \frac{1}{2} \left{ t^2(X+Y)^2

  • \frac{t^4}{4}(X^2+2XY+Y^2)^2+t^3(X+Y)(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) \right}\ = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)-\frac{t^2}{2}(X+Y)^2+O(t^3)\ = t(X+Y) + \frac{t^2}{2} \left{ X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 \right} + O(t^3)\quad(式9) $$

(式9)の以下の部分を計算すると、

$$ \begin{align} X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 &= X^2+2XY+Y^2-(X+Y)(X+Y)\ &= X^2+2XY+Y^2-(X^2+XY+YX+Y^2)\ &= 2XY-XY-YX\ &=XY-YX\ &=[X,Y] \end{align} $$

上式を(式9)に用いて、

$$ \begin{align} \log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\quad(式10) \end{align} $$

(公式4)を用いて両片のexpを取ると、

$$ \exp(\log Z) = \exp\bigg(t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\bigg) $$

左辺は$Z$となり、(式3)から、

$$ e^{tX}e^{tY} = \exp\left{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right} $$

これで補題を導くことができました。

最後に補題について、

$$ t=\frac{1}{k} $$

とおいて代入すると、

$$ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big)=\exp \left{ \frac{1}{k}(X+Y)+\frac{1}{2k^2}[X,Y]+O(k^{-3}) \right} $$

両辺をk乗して

$$ \begin{align} \left{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right}^k &= \left{ \exp \bigg(\frac{1}{k}(X+Y) + O(k^{-2}) \bigg) \right}^k\ &= \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg) \end{align} $$

上式では(公式1)を適用しました。
よって、(式1)を導くことができます。

$$ \begin{align} \lim_{k \to \infty} \left{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right}^k &= \lim_{k \to \infty} \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg)\ &= exp(X+Y) \end{align} $$

トロッター展開の導出は以上です。

Tetsuro Tabata
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