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トロッター展開を導く理論と数式

Tetsuro Tabata

2021/05/15 02:28

#第四回量子説明コンテスト

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トロッター展開を導く理論と数式

§ この記事の目的

第四回量子説明コンテスト「量子断熱時間発展とトロッター展開」のトロッター展開について、数式や理論を確認してみたいと思います。

§ 量子断熱時間発展について

量子断熱時間発展については、以下の投稿記事の章番号「3. 量子断熱計算(QAA)を引用する」に解説してみましたので、そちらを参照して頂けましたら幸いです。

■量子コンピュータの応用 - QAOAの仕組みとこれを応用した組合せ最適化問題のプログラミング(blueqat編)
https://blueqat.com/tetsurotabata/3a8425d5-68a3-4a8b-9773-2c3940bf5898

§ トロッター展開とは

書籍によっては「鈴木・トロッター展開」や「リー・トロッター積公式」と書かれたりします。
数学の「リー群」や「リー代数」の分野で出て来る式で、実正方行列または複素正方行列について、以下が成り立ちます。

定理
2つの同じ次数(行数と列数が等しい)の行列X及びYを実正方行列または複素正方行列、kを整数として、

lim⁡k→∞{exp(Xk)exp(Yk)}k=exp(X+Y)(式1)\lim_{k \to \infty}\left\{exp\big(\frac{X}{k}\big)exp\big(\frac{Y}{k}\big)\right\}^k = exp(X+Y)\quad(式1)

ここで注意が必要です。ここで論じられるのは、行列を指数に取り入れた際の数式で、指数行列や行列指数関数などと呼ばれ、私たちが高校などで学習した実数の指数とはルールが異なります。
指数に行列を入れるということ自体が想像を絶する世界ですが、一から定義を確認すれば納得できるものと言えます。
トロッター展開式がどのような根拠で導かれるのか確認します。

§ 定義及び公式を確認

行列指数関数についていくつかの定義及び公式を確認します。

定義1
文字式を以下のように表すことがありますが、この記号O(アルファベットのO)をランダウ記号と呼びます。
例えば O(t3)O(t^3)と書くと、高々tの3次の文字式を意味します。

O(t^3)\quad(定義1)\\ [例]\quad O(t^3)=3t^3+\frac{2}{5}t^2+\sqrt{5}t+8

定義2
行列の指数関数の定義です。tを実数、Xを行列として以下のように定義します。

etX=∑k=0∞1k!(tX)k(定義2)e^{tX}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^{k}\quad(定義2)

定義3
行列の対数関数の定義です。Eは単位行列です。

log⁡X=∑k=1∞(−1)k−1k(X−E)k(定義3)\log X = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(X-E)^k\quad(定義3)

公式1
tを実数、Xを行列として、以下の公式が成立します。

(eX)t=etX(公式1)(e^X)^t = e^{tX}\quad(公式1)

定義4
行列X,Yを用いて[X,Y]と書き、記号[,]を交換子と呼びます。
交換子は以下のように定義します。

[X,Y]=XY−YX(定義4)[X,Y] = XY - YX\quad(定義4)

　さらに、XY-YX=Oが成立する場合、XとYは可換であると言います。

公式2
X,Yが可換である場合、以下が成立します(一般には成立しません)。

eX+Y=eXeY(公式2)e^{X+Y}=e^Xe^Y\quad(公式2)

公式3
ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式
etXetYe^{tX}e^{tY}を以下のように書き直すことができます。

etXetY=exp⁡(∑n=0∞cntn)(公式3)e^{tX}e^{tY} = \exp \bigg( \sum_{n=0}^{\infty}c_nt^n \bigg) \quad(公式3)

特にc0c_0～c3c_3を示すと、以下のようになります。

c0=Ec1=X+Yc2=[X,Y]2c3=112[X−Y,[X,Y]]c_0 = E\\ c_1 = X + Y\\ c_2 = \frac{[X,Y]}{2}\\ c_3 = \frac{1}{12}[X-Y,[X,Y]]

公式4
行列Xの対数の指数と取ると、行列そのものになります。

exp(log⁡X)=X(公式4)exp(\log X) = X\quad(公式4)

§ トロッター展開を導く

トロッター展開を導く前に、以下の補題を確認します。

補題

etXetY=exp{t(X+Y)+t22[X,Y]+O(t3)}(補題)e^{tX}e^{tY} = exp\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right\}\quad(補題)

まず、定義2を具体的に展開してみます。

etX=∑k=0∞1k!(tX)k=10!(tX)0+11!(tX)1+12!(tX)2+...=E+tX+t22X2+O(t3)(式1)\begin{align}\\ e^{tX} &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^k\\ &= \frac{1}{0!}(tX)^0 + \frac{1}{1!}(tX)^1 + \frac{1}{2!}(tX)^2+...\\ &= E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\quad(式1) \end{align}

etYe^{tY}も同様に展開します。

etY=E+tY+t22Y2+O(t3)(式2)\begin{align}\\ e^{tY} &= E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\quad(式2) \end{align}

ここで、ZZを以下のように定義します。

Z=etXetY(式3)Z=e^{tX}e^{tY}\quad(式3)

Zについて、(式1)(式2)を用いて計算すると、

Z=etXetY=(E+tX+t22X2+O(t3))(E+tY+t22Y2+O(t3))=E+t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)(式4)\begin{align}\\ Z&=e^{tX}e^{tY}\\ &=\bigg(E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\bigg)\bigg(E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\bigg)\\ &=E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\quad(式4) \end{align}

次に、etXetYe^{tX}e^{tY}について、logを取ることを考えます。

log⁡etXetY(式5)\log e^{tX}e^{tY}\quad(式5)

(式3)を代入すると、

log⁡etXetY=log⁡Z(式6)\log e^{tX}e^{tY} = \log Z\quad(式6)

(式6)の右辺について、(定義3)を用いて展開すると、

log⁡Z=∑k=1∞(−1)k−1k(Z−E)k=(−1)01(Z−E)1+(−1)12(Z−E)2+O(Z3)=(Z−E)−12(Z−E)2+O(Z3)(式7)\begin{align} \log Z &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(Z-E)^k\\ &= \frac{(-1)^0}{1}(Z-E)^1 + \frac{(-1)^1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\\ &= (Z-E) - \frac{1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\quad(式7) \end{align}

(式7)右辺のZに(式4)右辺を代入すると、

log⁡Z={E+t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)−E}−12{E+t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)−E}2+O(Z3)(式8)\begin{align} \log Z &= \left\{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right\} -\frac{1}{2}\left\{ E + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - E \right\}^2 + O(Z^3)\quad(式8) \end{align}

ここでO(Z3)O(Z^3)について、

O(Z3)=(−1)23(Z−E)3=13{E+t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)−E}3=O(t3)\begin{align} O(Z^3)&=\frac{(-1)^2}{3}(Z-E)^3\\ &=\frac{1}{3} \left\{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right\}^3\\ &=O(t^3) \end{align}

とします。

(式8)をさらに展開して、

log⁡Z=t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)−12{t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)}2+O(t3)=t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)+O(t3)−12{t2(X+Y)2+t44(X2+2XY+Y2)2+t3(X+Y)(X2+2XY+Y2)+O(t3)}=t(X+Y)+t22(X2+2XY+Y2)−t22(X+Y)2+O(t3)=t(X+Y)+t22{X2+2XY+Y2−(X+Y)2}+O(t3)(式9)\log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\\ -\frac{1}{2}\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2) + O(t^3) \right\}^2 + O(t^3)\\ = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - \frac{1}{2} \left\{ t^2(X+Y)^2 + \frac{t^4}{4}(X^2+2XY+Y^2)^2+t^3(X+Y)(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) \right\}\\ = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)-\frac{t^2}{2}(X+Y)^2+O(t^3)\\ = t(X+Y) + \frac{t^2}{2} \left\{ X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 \right\} + O(t^3)\quad(式9)

(式9)の以下の部分を計算すると、

X2+2XY+Y2−(X+Y)2=X2+2XY+Y2−(X+Y)(X+Y)=X2+2XY+Y2−(X2+XY+YX+Y2)=2XY−XY−YX=XY−YX=[X,Y]\begin{align} X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 &= X^2+2XY+Y^2-(X+Y)(X+Y)\\ &= X^2+2XY+Y^2-(X^2+XY+YX+Y^2)\\ &= 2XY-XY-YX\\ &=XY-YX\\ &=[X,Y] \end{align}

上式を(式9)に用いて、

log⁡Z=t(X+Y)+t22[X,Y]+O(t3)(式10)\begin{align} \log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\quad(式10) \end{align}

(公式4)を用いて両片のexpを取ると、

exp⁡(log⁡Z)=exp⁡(t(X+Y)+t22[X,Y]+O(t3))\exp(\log Z) = \exp\bigg(t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\bigg)

左辺はZZとなり、(式3)から、

etXetY=exp⁡{t(X+Y)+t22[X,Y]+O(t3)}e^{tX}e^{tY} = \exp\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right\}

これで補題を導くことができました。

最後に補題について、

t=1kt=\frac{1}{k}

とおいて代入すると、

exp⁡(Xk)exp⁡(Yk)=exp⁡{1k(X+Y)+12k2[X,Y]+O(k−3)}\exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big)=\exp \left\{ \frac{1}{k}(X+Y)+\frac{1}{2k^2}[X,Y]+O(k^{-3}) \right\}

両辺をk乗して

{exp⁡(Xk)exp⁡(Yk)}k={exp⁡(1k(X+Y)+O(k−2))}k=exp⁡((X+Y)+O(k−1))\begin{align} \left\{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right\}^k &= \left\{ \exp \bigg(\frac{1}{k}(X+Y) + O(k^{-2}) \bigg) \right\}^k\\ &= \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg) \end{align}

上式では(公式1)を適用しました。
よって、(式1)を導くことができます。

lim⁡k→∞{exp⁡(Xk)exp⁡(Yk)}k=lim⁡k→∞exp⁡((X+Y)+O(k−1))=exp(X+Y)\begin{align} \lim_{k \to \infty} \left\{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right\}^k &= \lim_{k \to \infty} \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg)\\ &= exp(X+Y) \end{align}

トロッター展開の導出は以上です。

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