トロッター展開を導く理論と数式
§ この記事の目的
第四回量子説明コンテスト「量子断熱時間発展とトロッター展開」のトロッター展開について、数式や理論を確認してみたいと思います。
§ 量子断熱時間発展について
量子断熱時間発展については、以下の投稿記事の章番号「3. 量子断熱計算(QAA)を引用する」に解説してみましたので、そちらを参照して頂けましたら幸いです。
■量子コンピュータの応用 - QAOAの仕組みとこれを応用した組合せ最適化問題のプログラミング(blueqat編)
https://blueqat.com/tetsurotabata/3a8425d5-68a3-4a8b-9773-2c3940bf5898
§ トロッター展開とは
書籍によっては「鈴木・トロッター展開」や「リー・トロッター積公式」と書かれたりします。
数学の「リー群」や「リー代数」の分野で出て来る式で、実正方行列または複素正方行列について、以下が成り立ちます。
定理
2つの同じ次数(行数と列数が等しい)の行列X及びYを実正方行列または複素正方行列、kを整数として、
\lim_{k \to \infty}\left\{exp\big(\frac{X}{k}\big)exp\big(\frac{Y}{k}\big)\right\}^k = exp(X+Y)\quad(式1)
ここで注意が必要です。ここで論じられるのは、行列を指数に取り入れた際の数式で、指数行列や行列指数関数などと呼ばれ、私たちが高校などで学習した実数の指数とはルールが異なります。
指数に行列を入れるということ自体が想像を絶する世界ですが、一から定義を確認すれば納得できるものと言えます。
トロッター展開式がどのような根拠で導かれるのか確認します。
§ 定義及び公式を確認
行列指数関数についていくつかの定義及び公式を確認します。
定義1
文字式を以下のように表すことがありますが、この記号O(アルファベットのO)をランダウ記号と呼びます。
例えば O(t^3)と書くと、高々tの3次の文字式を意味します。
O(t^3)\quad(定義1)\\
[例]\quad O(t^3)=3t^3+\frac{2}{5}t^2+\sqrt{5}t+8
定義2
行列の指数関数の定義です。tを実数、Xを行列として以下のように定義します。
e^{tX}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^{k}\quad(定義2)
定義3
行列の対数関数の定義です。Eは単位行列です。
\log X = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(X-E)^k\quad(定義3)
公式1
tを実数、Xを行列として、以下の公式が成立します。
(e^X)^t = e^{tX}\quad(公式1)
定義4
行列X,Yを用いて[X,Y]と書き、記号[,]を交換子と呼びます。
交換子は以下のように定義します。
[X,Y] = XY - YX\quad(定義4)
さらに、XY-YX=Oが成立する場合、XとYは可換であると言います。
公式2
X,Yが可換である場合、以下が成立します(一般には成立しません)。
公式3
ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式
e^{tX}e^{tY}を以下のように書き直すことができます。
e^{tX}e^{tY} = \exp \bigg( \sum_{n=0}^{\infty}c_nt^n \bigg) \quad(公式3)
特にc_0～c_3を示すと、以下のようになります。
c_0 = E\\
c_1 = X + Y\\
c_2 = \frac{[X,Y]}{2}\\
c_3 = \frac{1}{12}[X-Y,[X,Y]]
公式4
行列Xの対数の指数と取ると、行列そのものになります。
exp(\log X) = X\quad(公式4)
§ トロッター展開を導く
トロッター展開を導く前に、以下の補題を確認します。
補題
e^{tX}e^{tY} = exp\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right\}\quad(補題)
まず、定義2を具体的に展開してみます。
\begin{align}\\
e^{tX} &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(tX)^k\\
&= \frac{1}{0!}(tX)^0 + \frac{1}{1!}(tX)^1 + \frac{1}{2!}(tX)^2+...\\
&= E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\quad(式1)
\end{align}
e^{tY}も同様に展開します。
\begin{align}\\
e^{tY} &= E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\quad(式2)
\end{align}
ここで、Zを以下のように定義します。
Zについて、(式1)(式2)を用いて計算すると、
\begin{align}\\
Z&=e^{tX}e^{tY}\\
&=\bigg(E + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + O(t^3)\bigg)\bigg(E + tY + \frac{t^2}{2}Y^2 + O(t^3)\bigg)\\
&=E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\quad(式4)
\end{align}
次に、e^{tX}e^{tY}について、logを取ることを考えます。
\log e^{tX}e^{tY}\quad(式5)
(式3)
\log e^{tX}e^{tY} = \log Z\quad(式6)
(式6)
\begin{align}
\log Z &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(Z-E)^k\\
&= \frac{(-1)^0}{1}(Z-E)^1 + \frac{(-1)^1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\\
&= (Z-E) - \frac{1}{2}(Z-E)^2+O(Z^3)\quad(式7)
\end{align}
(式7)
\begin{align}
\log Z &= \left\{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right\}
-\frac{1}{2}\left\{ E + t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - E \right\}^2 + O(Z^3)\quad(式8)
\end{align}
ここでO(Z^3)について、
\begin{align}
O(Z^3)&=\frac{(-1)^2}{3}(Z-E)^3\\
&=\frac{1}{3} \left\{ E+t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)-E \right\}^3\\
&=O(t^3)
\end{align}
とします。
(式8)をさらに展開して、
\log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3)\\
-\frac{1}{2}\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2) + O(t^3) \right\}^2 + O(t^3)\\
= t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) - \frac{1}{2} \left\{ t^2(X+Y)^2
+ \frac{t^4}{4}(X^2+2XY+Y^2)^2+t^3(X+Y)(X^2+2XY+Y^2)+O(t^3) \right\}\\
= t(X+Y)+\frac{t^2}{2}(X^2+2XY+Y^2)-\frac{t^2}{2}(X+Y)^2+O(t^3)\\
= t(X+Y) + \frac{t^2}{2} \left\{ X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 \right\} + O(t^3)\quad(式9)
(式9)
\begin{align}
X^2+2XY+Y^2-(X+Y)^2 &= X^2+2XY+Y^2-(X+Y)(X+Y)\\
&= X^2+2XY+Y^2-(X^2+XY+YX+Y^2)\\
&= 2XY-XY-YX\\
&=XY-YX\\
&=[X,Y]
\end{align}
上式を(式9)に用いて、
\begin{align}
\log Z = t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\quad(式10)
\end{align}
(公式4)
\exp(\log Z) = \exp\bigg(t(X+Y)+\frac{t^2}{2}[X,Y]+O(t^3)\bigg)
左辺はZとなり、(式3)から、
e^{tX}e^{tY} = \exp\left\{ t(X+Y) + \frac{t^2}{2}[X,Y] + O(t^3) \right\}
これで補題を導くことができました。
最後に補題について、
とおいて代入すると、
\exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big)=\exp \left\{ \frac{1}{k}(X+Y)+\frac{1}{2k^2}[X,Y]+O(k^{-3}) \right\}
両辺をk乗して
\begin{align}
\left\{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right\}^k &= \left\{ \exp \bigg(\frac{1}{k}(X+Y) + O(k^{-2}) \bigg) \right\}^k\\
&= \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg)
\end{align}
上式では(公式1)を適用しました。
よって、(式1)を導くことができます。
\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left\{ \exp\big(\frac{X}{k}\big)\exp\big(\frac{Y}{k}\big) \right\}^k &=
\lim_{k \to \infty} \exp \bigg( (X+Y)+O(k^{-1})\bigg)\\
&= exp(X+Y)
\end{align}
トロッター展開の導出は以上です。
