量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認

量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認

§ この記事の目的

量子コンピュータ理論の基本、または線形代数の基本である公理「エルミート行列の固有値は実数である」ことについて、具体的に確認します。

§ 命題「エルミート行列の固有値は実数である」の確認

では、さっそく数式を用いて確認します。

行列$A$をエルミート行列、列ベクトル$X$を固有ベクトル、$\lambda$を固有値(スカラー値)とすると、固有値・固有ベクトルの関係から、以下のように表すことができます。

$$ AX=\lambda X $$

両辺に左から、$X$のエルミート共役行列である$X^\dagger$をかけます。

$$ \begin{align} X^\dagger AX &= X^\dagger \lambda X\ &=\lambda X^\dagger X\quad(式1) \end{align} $$

両辺のエルミート共役を取ると、

$$ (X^\dagger AX)^\dagger = (\lambda X^\dagger X)^\dagger\quad(式2) $$

以下の公式を使用します。

$$ (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger $$

(式2)を丁寧に展開すると、

$$ \begin{align} ((X^\dagger A)X)^\dagger = (\lambda(X^\dagger X))^\dagger\ X^\dagger(X^\dagger A)^\dagger = (X^\dagger X)^\dagger \lambda^*\quad(式3) \end{align} $$

(式3)の右辺の記号$^*$は複素共役の意味です。$\lambda$はスカラー値なので、エルミート共役を取れない代わりに複素共役を取ります。
よって、(式3)は、

$$ X^\dagger A^\dagger (X^\dagger)^\dagger = \lambda^*X^\dagger (X^\dagger)^\dagger\ X^\dagger A^\dagger X=\lambda^*X^\dagger X $$

当然ながら、$(X^\dagger)^\dagger=X$です。
ここで、$A$はエルミート行列なので$A^\dagger = A$を代入すると、

$$ X^\dagger AX = \lambda^* X^\dagger X\quad(式4) $$

(式1)と(式4)を比較すると、以下のようになります。

$$ X^\dagger AX = \lambda X^\dagger X\quad(式1)\ X^\dagger AX = \lambda^*X^\dagger X\quad(式4) $$

これより、以下が導けます。

$$ \lambda = \lambda^* $$

$\lambda$はスカラー値であるから、上記が成立する条件は、$\lambda$が実数の場合になります。

よって、命題が真である(正しい)ことが確認できました。

Tetsuro Tabata
Comments
Tetsuro Tabata
Related posts

blueqat Inc.

Shibuya Scramble Square 39F 2-24-12, Shibuya, Shibuya-ku, Tokyo
Contact: info@blueqat.com