量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認

§ この記事の目的

量子コンピュータ理論の基本、または線形代数の基本である公理「エルミート行列の固有値は実数である」ことについて、具体的に確認します。

では、さっそく数式を用いて確認します。

行列 $A$ をエルミート行列、列ベクトル $X$ を固有ベクトル、 $\lambda$ を固有値(スカラー値)とすると、固有値・固有ベクトルの関係から、以下のように表すことができます。

AX=\lambda X

両辺に左から、 $X$ のエルミート共役行列である $X^\dagger$ をかけます。

\begin{align} X^\dagger AX &= X^\dagger \lambda X\\ &=\lambda X^\dagger X\quad(式1) \end{align}

両辺のエルミート共役を取ると、

(X^\dagger AX)^\dagger = (\lambda X^\dagger X)^\dagger\quad(式2)

以下の公式を使用します。

(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger (式2)

\begin{align} ((X^\dagger A)X)^\dagger = (\lambda(X^\dagger X))^\dagger\\ X^\dagger(X^\dagger A)^\dagger = (X^\dagger X)^\dagger \lambda^*\quad(式3) \end{align} (式3)

よって、(式3)は、

X^\dagger A^\dagger (X^\dagger)^\dagger = \lambda^*X^\dagger (X^\dagger)^\dagger\\ X^\dagger A^\dagger X=\lambda^*X^\dagger X

当然ながら、 $(X^\dagger)^\dagger=X$ です。
ここで、 $A$ はエルミート行列なので $A^\dagger = A$ を代入すると、

X^\dagger AX = \lambda^* X^\dagger X\quad(式4) (式1)

X^\dagger AX = \lambda X^\dagger X\quad(式1)\\ X^\dagger AX = \lambda^*X^\dagger X\quad(式4)

これより、以下が導けます。

\lambda = \lambda^*

$\lambda$ はスカラー値であるから、上記が成立する条件は、 $\lambda$ が実数の場合になります。

よって、命題が真である(正しい)ことが確認できました。