量子コンピュータの基本 - 異なる固有値に対する固有ベクトルは直交することの確認

§ この記事の目的

量子コンピュータ理論の基本、または線形代数の基本である公理「異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する」ことについて、具体的に確認します。

なお、本記事の前に以下の記事を見て頂くとスムーズに読み進めることができます。

■量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認
https://qiita.com/ttabata/items/26bd49f0ab526c0f6cd0

では、さっそく数式を用いて確認します。

行列 $A$ をエルミート行列、異なる2つの固有値(スカラー値)を $\lambda_1,\lambda_2$ 、異なる2つの固有値に対する列ベクトル(固有ベクトル)をそれぞれ $X_1,X_2$ とすると、固有値・固有ベクトルの関係から、以下のように表すことができます。

AX_1=\lambda_1X_1\quad(式1)\\ AX_2=\lambda_2X_2\quad(式2)

ここでは説明を易しくするために固有値を2つの場合に限定します。
以下が自明の条件です。

\lambda_1\ne\lambda_2\quad(式3) (式1)

\begin{align} X_2^\dagger AX_1&=X_2^\dagger \lambda_1X_1\\ &=\lambda_1X_2^\dagger X_1\quad(式4) \end{align}

同様に、(式2)に左から $X_1$ のエルミート行列である $X_1^\dagger$ をかけると、

\begin{align} X_1^\dagger AX_2&=X_1^\dagger \lambda_2X_2\\ &=\lambda_2X_1^\dagger X_2\quad(式5) \end{align} (式5)

(X_1^\dagger AX_2)^\dagger = (\lambda_2X_1^\dagger X_2)^\dagger\\ X_2^\dagger A^\dagger (X_1^\dagger)^\dagger = \lambda_2^*X_2^\dagger (X_1^\dagger)^\dagger\\ X_2^\dagger A^\dagger X_1 = \lambda_2^*X_2^\dagger X_1

行列 $A$ はエルミート行列であるから、 $A^\dagger = A$ です。また、エルミート行列に対する固有値は実数なので、 $\lambda_2^*=\lambda_2$ です。これらを代入すると、

X_2^\dagger AX_1 = \lambda_2X_2^\dagger X_1\quad(式6)

改めて(式4)と(式6)を並べてみると以下となります。

X_2^\dagger AX_1=\lambda_1X_2^\dagger X_1\quad(式4)\\ X_2^\dagger AX_1 = \lambda_2X_2^\dagger X_1\quad(式6)

上記の2式を引き算すると、

0=(\lambda_1-\lambda_2)X_2^\dagger X_1

ここで、(式3)より $\lambda_1-\lambda_2\ne0$ のため、上式が成立するには、

X_2^\dagger X_1 = 0\quad(式7)

となります。
(式7)は複素空間におけるベクトル $X_1$ とベクトル $X_2$ の内積を意味します。つまり、

(X_1, X_2)=0

内積が0なので、2つのベクトル $X_1,X_2$ は直交することがわかります。

このことから、命題「異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する」は真である(正しい)と言えます。