量子コンピュータの基本 - 異なる固有値に対する固有ベクトルは直交することの確認

量子コンピュータの基本 - 異なる固有値に対する固有ベクトルは直交することの確認

§ この記事の目的

量子コンピュータ理論の基本、または線形代数の基本である公理「異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する」ことについて、具体的に確認します。

なお、本記事の前に以下の記事を見て頂くとスムーズに読み進めることができます。

■量子コンピュータの基本 - エルミート行列の固有値が実数であることの確認
https://qiita.com/ttabata/items/26bd49f0ab526c0f6cd0

§ 命題「異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する」の確認

では、さっそく数式を用いて確認します。

行列$A$をエルミート行列、異なる2つの固有値(スカラー値)を$\lambda_1,\lambda_2$、異なる2つの固有値に対する列ベクトル(固有ベクトル)をそれぞれ$X_1,X_2$とすると、固有値・固有ベクトルの関係から、以下のように表すことができます。

$$ AX_1=\lambda_1X_1\quad(式1)\ AX_2=\lambda_2X_2\quad(式2) $$

ここでは説明を易しくするために固有値を2つの場合に限定します。 以下が自明の条件です。

$$ \lambda_1\ne\lambda_2\quad(式3) $$

(式1)に左から$X_2$のエルミート行列である$X_2^\dagger$をかけると、

$$ \begin{align} X_2^\dagger AX_1&=X_2^\dagger \lambda_1X_1\ &=\lambda_1X_2^\dagger X_1\quad(式4) \end{align} $$

同様に、(式2)に左から$X_1$のエルミート行列である$X_1^\dagger$をかけると、

$$ \begin{align} X_1^\dagger AX_2&=X_1^\dagger \lambda_2X_2\ &=\lambda_2X_1^\dagger X_2\quad(式5) \end{align} $$

(式5)について両辺のエルミート共役を取ると、

$$ (X_1^\dagger AX_2)^\dagger = (\lambda_2X_1^\dagger X_2)^\dagger\ X_2^\dagger A^\dagger (X_1^\dagger)^\dagger = \lambda_2^*X_2^\dagger (X_1^\dagger)^\dagger\ X_2^\dagger A^\dagger X_1 = \lambda_2^*X_2^\dagger X_1 $$

行列$A$はエルミート行列であるから、$A^\dagger = A$です。また、エルミート行列に対する固有値は実数なので、$\lambda_2^*=\lambda_2$です。これらを代入すると、

$$ X_2^\dagger AX_1 = \lambda_2X_2^\dagger X_1\quad(式6) $$

改めて(式4)と(式6)を並べてみると以下となります。

$$ X_2^\dagger AX_1=\lambda_1X_2^\dagger X_1\quad(式4)\ X_2^\dagger AX_1 = \lambda_2X_2^\dagger X_1\quad(式6) $$

上記の2式を引き算すると、

$$ 0=(\lambda_1-\lambda_2)X_2^\dagger X_1 $$

ここで、(式3)より$\lambda_1-\lambda_2\ne0$のため、上式が成立するには、

$$ X_2^\dagger X_1 = 0\quad(式7) $$

となります。 (式7)は複素空間におけるベクトル$X_1$とベクトル$X_2$の内積を意味します。つまり、

$$ (X_1, X_2)=0 $$

内積が0なので、2つのベクトル$X_1,X_2$は直交することがわかります。

このことから、命題「異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する」は真である(正しい)と言えます。