Juliaで動くテンソルネットワーク計算ライブラリのITensorを利用して、量子計算をしてみます。今回は例題として、量子計算で簡単なもつれ回路を作ってみます。

ITensor

Juliaで利用できるライブラリです。

@show VERSION
import Pkg; Pkg.add("BenchmarkTools",); Pkg.add("ITensors")

Juliaの環境で、パッケージを追加すればインストールされます。

using BenchmarkTools, Random, LinearAlgebra, ITensors

そして、読み込みます。

使い方

今後はより量子計算向けに改良されるでしょうから、テンソルネットワークの詳しいことは知らないでも大丈夫ですが、Tというテンソルを腕から作ります。

let
  i = Index(2,"i")
  j = Index(2,"j")
  T = ITensor(i,j)
  @show T
end

これを実行すると、

T = ITensor ord=2
Dim 1: (dim=2|id=827|"i")
Dim 2: (dim=2|id=437|"j")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×2
 0.0  0.0
 0.0  0.0

[27]:

ITensor ord=2 (dim=2|id=827|"i") (dim=2|id=437|"j")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

このように0000の2*2行列ができました。腕を簡単に増やすことができます。

i = Index(2,"i")
j = Index(3,"j")
k = Index(4,"k")

T = ITensor(i,j,k)

ITensor ord=3 (dim=2|id=986|"i") (dim=3|id=426|"j") (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

値の設定は、

T[k=>3,i=>2,j=>1] = 4.56

テンソルで指定することで、

@show T

T = ITensor ord=3
Dim 1: (dim=2|id=986|"i")
Dim 2: (dim=3|id=426|"j")
Dim 3: (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×3×4
[:, :, 1] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[:, :, 2] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[:, :, 3] =
 0.0   0.0  0.0
 4.56  0.0  0.0

[:, :, 4] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[32]:

ITensor ord=3 (dim=2|id=986|"i") (dim=3|id=426|"j") (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

設定されました。簡略化して指定することもできるようです。

T[2,2,3] = 4.56;

こうすることで、

T = ITensor ord=3
Dim 1: (dim=2|id=986|"i")
Dim 2: (dim=3|id=426|"j")
Dim 3: (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×3×4
[:, :, 1] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[:, :, 2] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[:, :, 3] =
 0.0   0.0   0.0
 4.56  4.56  0.0

[:, :, 4] =
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

[34]:

ITensor ord=3 (dim=2|id=986|"i") (dim=3|id=426|"j") (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

できました。

複素数

もちろん複素数も指定できます。

T = ITensor(ComplexF64,i,j,k)
T[i=>2,k=>3,j=>1] = 7+9im

T = ITensor ord=3
Dim 1: (dim=2|id=986|"i")
Dim 2: (dim=3|id=426|"j")
Dim 3: (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Complex{Float64},Array{Complex{Float64},1}}
 2×3×4
[:, :, 1] =
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im

[:, :, 2] =
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im

[:, :, 3] =
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im
 7.0 + 9.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im

[:, :, 4] =
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im  0.0 + 0.0im

[36]:

ITensor ord=3 (dim=2|id=986|"i") (dim=3|id=426|"j") (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Complex{Float64},Array{Complex{Float64},1}}

縮約

テンソルの縮約も簡単でした。

A = ITensor(i,j)
B = ITensor(k,j)

@show A*B

A * B = ITensor ord=2
Dim 1: (dim=2|id=986|"i")
Dim 2: (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×4
 0.0  0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0  0.0

[38]:

ITensor ord=2 (dim=2|id=986|"i") (dim=4|id=797|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

腕を見るとjで縮約されているのがわかります。

もつれ回路

もつれ回路は元の量子ビットに重ね合わせHとCXをかけると実現できます。

状態ベクトルを作ります。

i = Index(2,"i")
j = Index(2,"j")

こちらは、量子ビット一つ目

q0 = ITensor(i)
q0[1] = 1

q1 = ITensor(j)
q1[1] = 1

確認すると、

@show q1

q1 = ITensor ord=1
Dim 1: (dim=2|id=481|"j")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2-element
 1.0
 0.0

[163]:

ITensor ord=1 (dim=2|id=481|"j")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

きちんとできていることが確認できました。

次にアダマールゲートを作ります。

k = Index(2,"k")

h = ITensor(i,k)

h[1] = 1/sqrt(2)
h[2] = 1/sqrt(2)
h[3] = 1/sqrt(2)
h[4] = -1/sqrt(2)

値を設定します。そして、確認。

@show h

h = ITensor ord=2
Dim 1: (dim=2|id=225|"i")
Dim 2: (dim=2|id=563|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×2
 0.7071067811865475   0.7071067811865475
 0.7071067811865475  -0.7071067811865475

[171]:

ITensor ord=2 (dim=2|id=225|"i") (dim=2|id=563|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

行列ができました。

まず重ね合わせ

@show q0*h

できました。

q0 * h = ITensor ord=1
Dim 1: (dim=2|id=563|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2-element
 0.7071067811865475
 0.7071067811865475

[172]:

ITensor ord=1 (dim=2|id=563|"k")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

次にもつれ回路

まず最初にCXゲートを作ります。腕を準備

l = Index(2,"l")
m = Index(2,"m")

設定します。今回は4*4ではなく、2*2*2*2で準備しました。

cx = ITensor(k,j,l,m)

cx[1] = 1
cx[7] = 1
cx[12] = 1
cx[14] = 1

@show cx

できました。

cx = ITensor ord=4
Dim 1: (dim=2|id=563|"k")
Dim 2: (dim=2|id=481|"j")
Dim 3: (dim=2|id=553|"l")
Dim 4: (dim=2|id=22|"m")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×2×2×2
[:, :, 1, 1] =
 1.0  0.0
 0.0  0.0

[:, :, 2, 1] =
 0.0  1.0
 0.0  0.0

[:, :, 1, 2] =
 0.0  0.0
 0.0  1.0

[:, :, 2, 2] =
 0.0  0.0
 1.0  0.0

[180]:

ITensor ord=4 (dim=2|id=563|"k") (dim=2|id=481|"j") (dim=2|id=553|"l") (dim=2|id=22|"m")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

縮約してみます。

@show q1*q0*h*cx

q1 * q0 * h * cx = ITensor ord=2
Dim 1: (dim=2|id=553|"l")
Dim 2: (dim=2|id=22|"m")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}
 2×2
 0.7071067811865475  0.0
 0.0                 0.7071067811865475

[181]:

ITensor ord=2 (dim=2|id=553|"l") (dim=2|id=22|"m")
NDTensors.Dense{Float64,Array{Float64,1}}

できました！00と11でもつれています。無事Juliaでも量子計算できました！どんどん使っていきましょう！

Julia + ITensorを使った量子計算

Yuichiro Minato