【備忘録】量子計算でのエルミート共役

はじめに

量子計算はよくつかわれます＆よくきかれるのでまとめておきます。

共役な行列をとって転置を取ります。

複素数 $a+bi$ があった時、共役な複素数は、

a-bi

でかかれます。共役な行列は、要素の複素数が共役となっていて行列が転置されています。

U^{\dagger}

と書かれます。十字はダガーと呼びます。量子力学ではダガーが使われますが、数学では

U^*

のようにも書くようです。

複素正方行列で、自身のエルミート共役をかけると単位行列になります。

UU^{\dagger} = U^{\dagger}U = I

よく量子計算でブラ・ケット表記がでます。

\langle \psi \mid

とか

\mid \psi \rangle

とか。こちらはそれぞれがエルミート共役になっている形を表しています。

エルミート行列はエルミート共役が自分自身に等しくなり、固有値が実数となる性質があります。量子計算では、ハミルトニアンをユニタリ行列の積や和で書くことで、エルミート行列であれば、固有値が実数で使いやすいということでしょうか。

A = A^{\dagger}

どうやらハミルトニアンや演算子はエルミート共役の性質を理解して体にたたき込むと量子計算マスターへの道が近づくようです。以上です。