量子ゲートとSU(2)

1. 量子ビットと SU(2)

• 1 量子ビットの状態は 2 次元複素ベクトル空間の正規化されたベクトル：

  |\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle, \quad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

• この空間に作用する変換のうち、確率を保存するのは ユニタリ演算子 U (U^\dagger U = I)。

• 特に、1量子ビットの演算は SU(2) の要素として表現できる。

2. なぜ SU(2) なのか？

• 一般の 2×2 ユニタリ行列は U(2) に属します。

• ところが U(2) は次のように分解できます：

  U(2) \cong U(1) \times SU(2)

• このうち U(1) 部分（グローバル位相） は観測に影響を与えません。

• したがって、物理的に本質なのは SU(2) の部分です。

• 結論：任意の1量子ビット操作は SU(2) の行列で表せる。

3. 具体例：基本ゲートと SU(2)

(a) パウリゲート

• X, Y, Z は SU(2) の生成子：

  X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix},\quad Z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

• これらは回転演算子

  R_n(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}\, \hat{n}\cdot \vec{\sigma}}

  の特殊な場合です（π回転）。

少しpythonで確認をしてみます。

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

# パウリ行列
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

# 回転演算子 R_n(theta) = exp(-i theta/2 * n・σ)
def rotation(n, theta):
    # n は単位ベクトル
    nx, ny, nz = n
    sigma = nx * X + ny * Y + nz * Z
    return expm(-1j * theta/2 * sigma)

theta = np.pi

# x軸回りのπ回転
Rx_pi = rotation([1,0,0], theta)
print("Rx(pi):")
print(Rx_pi)
print("X:\n", X)

# y軸回りのπ回転
Ry_pi = rotation([0,1,0], theta)
print("\nRy(pi):")
print(Ry_pi)
print("Y:\n", Y)

# z軸回りのπ回転
Rz_pi = rotation([0,0,1], theta)
print("\nRz(pi):")
print(Rz_pi)
print("Z:\n", Z)

答えは、

Rx(pi):
[[0.+0.j 0.-1.j]
 [0.-1.j 0.+0.j]]
X:
 [[0.+0.j 1.+0.j]
 [1.+0.j 0.+0.j]]

Ry(pi):
[[ 0.+0.j -1.+0.j]
 [ 1.+0.j  0.+0.j]]
Y:
 [[ 0.+0.j -0.-1.j]
 [ 0.+1.j  0.+0.j]]

Rz(pi):
[[6.123234e-17-1.j 0.000000e+00+0.j]
 [0.000000e+00+0.j 6.123234e-17+1.j]]
Z:
 [[ 1.+0.j  0.+0.j]
 [ 0.+0.j -1.+0.j]]

となりました。パウリ行列 = π 回転の回転演算子 × グローバル位相となっているのが確認できます。上記ではRθに-iをかけるとパウリ行列になっています。

(b) アダマールゲート (H)

• Bloch 球で「X 軸と Z 軸の間の回転」を表す SU(2) 行列：

  H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

(c) 位相ゲート (S, T)

• Z 軸周りの回転：

  S = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} = R_z\!\left(\frac{\pi}{2}\right)
  T = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4}\end{pmatrix} = R_z\!\left(\frac{\pi}{4}\right)

4. Bloch 球と SU(2)

• 1量子ビットの純粋状態は Bloch 球の表面の点として表せる。
• SU(2) の作用は、Bloch 球上のベクトルを回転させる操作。
• このとき「2π 回転で -1 倍、4π 回転で完全に戻る」というスピン1/2 の性質も Bloch 球で理解できる。

5. まとめ

• 1量子ビットゲート = SU(2) の要素。
• 物理的に無意味なグローバル位相を除くと、U(2) の代わりに SU(2) で十分。
• Pauli, Hadamard, Phase などの基本ゲートは、すべて SU(2) の具体例。
• SU(2) の回転表現が、そのまま Bloch 球上の量子状態の操作と対応する。