量子もつれとベル状態

はじめに

量子もつれを理解するためにベル状態を見てみたいと思います。あまり新しいことなはいです、、、wikipediaにあるような基本的なことです。

こちらは量子もつれ回路です、

|0> ---H---*---
           |
|0> -------X---

量子状態の変遷を見ると、

\mid 00 \rangle

からスタートします。この時点ではもつれていません。アダマールゲートHを適用すると、上の量子ビットが重ね合わせ状態になります。

\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1 \rangle \right)\mid 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle

そして、これにCXゲートを適用すると、0番目の量子ビットが1のときに1番目の量子ビットが反転し、

\frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle

の状態が得られます。blueqatでやると、重ね合わせは、

from blueqat import Circuit

Circuit(2).h[0].run()

#array([0.70710678+0.j, 0.70710678+0.j, 0.        +0.j, 0.        +0.j])

array([0.70710678+0.j, 0.70710678+0.j, 0.        +0.j, 0.        +0.j])

は00と01の重ね合わせになります。

これにCXを適用すると、

Circuit().h[0].cx[0,1].run()
#array([0.70710678+0.j, 0.        +0.j, 0.        +0.j, 0.70710678+0.j])

array([0.70710678+0.j, 0.        +0.j, 0.        +0.j, 0.70710678+0.j])

00と11のもつれに変化しました。量子ビットの値によって、

B(\mid 00 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle

は今確認しました。 $B(\mid 01 \rangle)$ は、重ね合わせとCXを通じて、

\mid 01 \rangle \rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1 \rangle \right)\mid 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle

B(\mid 01 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle

blueqatでは、

Circuit(2).x[1].h[0].cx[0,1].run()
#array([0.        +0.j, 0.70710678+0.j, 0.70710678+0.j, 0.        +0.j])

array([0.        +0.j, 0.70710678+0.j, 0.70710678+0.j, 0.        +0.j])

無事出ました。次に $B(\mid 10 \rangle)$ は、

\mid 10 \rangle \rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1 \rangle \right)\mid 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle

B(\mid 10 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle

blueqatでは、

Circuit(2).x[0].h[0].cx[0,1].run()
#array([ 0.70710678+0.j,  0.        +0.j,  0.        +0.j, -0.70710678+0.j])

array([ 0.70710678+0.j,  0.        +0.j,  0.        +0.j, -0.70710678+0.j])

最後に、 $B(\mid 11 \rangle)$ は、

\mid 11 \rangle \rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1 \rangle \right)\mid 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 11 \rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle

B(\mid 11 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 10 \rangle

blueqatでは、

Circuit(2).x[:].h[0].cx[0,1].run()
#array([ 0.        -0.j,  0.70710678+0.j, -0.70710678-0.j,  0.        -0.j])

array([ 0.        +0.j, -0.70710678+0.j,  0.70710678+0.j,  0.        +0.j])

これら４つの状態は正規直交基底となり、「ベル基底」と呼ばれます。

手計算は省きますが、blueqatで00,01,10,11に対応するベル基底から可逆回路で再度CXとHを適用することで元に戻ることを確認します。

|0> ---H--*--*--H--
          |  |
|0> ------X--X-----

#00
Circuit(2).h[0].cx[0,1].cx[0,1].h[0].m[:].run(shots=100)
#Counter({'00': 100})

Counter({'00': 100})

#01
Circuit(2).x[1].h[0].cx[0,1].cx[0,1].h[0].m[:].run(shots=100)
#Counter({'01': 100})

Counter({'01': 100})

#10
Circuit(2).x[0].h[0].cx[0,1].cx[0,1].h[0].m[:].run(shots=100)
#Counter({'10': 100})

Counter({'10': 100})

#11
Circuit(2).x[:].h[0].cx[0,1].cx[0,1].h[0].m[:].run(shots=100)
#Counter({'11': 100})

Counter({'11': 100})