時間発展演算子と任意回転角ゲート by Yuichiro Minato

量子コンピュータをつかって組合せ最適化問題解きたいですよね。量子アニーリングをやっているとQUBO問題をつくるとあり、内部ではイジングモデルに変換されていると書いてあります。

イジングモデルでは、上向きスピンを＋１、下向きスピンをー１として、設定した問題の答えを求めます。量子ゲートで量子アニーリングのような問題を解きたい場合には、量子断熱時間発展計算をつかい、量子アニーリングの時間経過をゲートの形で書き下す必要があります。

横磁場のハミルトニアンはX、問題に対応するハミルトニアンHはZもしくはZZという２量子ビットの相互作用を考えます。

時間発展演算子は、

exp(-iHt)

という形で、指数の肩に行列が乗る形になるため、この行列を指数の肩から降ろす必要があります。行列は対角行列の場合には、指数の肩から簡単に降ろせます。

参考：量子ゲートの時間発展

https://qiita.com/KeiichiroHiga/items/d9377060fbc97817d849

H=Zの場合には、

exp(-iZt) = Rz(2t)

となります。その他、XとYの時はそれぞれ、

X = H Z H

Y = SH Y HS*

を使って、

exp(-iXt) = exp(-i(HZH)t) = H exp(-iZt) H = HRz(2t)H = Rx(2t)

を使います。同様に、

exp(-iYt) = Ry(2t)

という便利な式があります。

２量子ビットゲートはちょっとコツが

exp(-iHt) のハミルトニアンがXXやYYやZZのような場合には少し変わります。これらはイジングカップリングゲートと呼ばれています。

参考：

exp(-iZZt) = CX Rz(2t) CX = Rzz(2t)

となります。Rigettiのようなマシンの場合にはRzzのようなイジングカップリングゲートがないので、CXとRzをつかい、IonQのようなイオントラップマシンには標準でRzzが提供されています。

Amazon Braket のゲート型量子コンピュータで指定できる量子回路

https://qiita.com/doiken_/items/a8886990130da898c625

同様に、

exp(-iXXt) = Rxx(2t)

exp(-iYYt) = Ryy(2t)

となります。最近はRxx,Ryy,Rzzゲートがポピュラーになってきたのこれらを直接使うのが簡単かと思います。以上です。

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