時間発展演算子と任意回転角ゲート

量子コンピュータをつかって組合せ最適化問題解きたいですよね。量子アニーリングをやっているとQUBO問題をつくるとあり、内部ではイジングモデルに変換されていると書いてあります。


イジングモデルでは、上向きスピンを+1、下向きスピンをー1として、設定した問題の答えを求めます。量子ゲートで量子アニーリングのような問題を解きたい場合には、量子断熱時間発展計算をつかい、量子アニーリングの時間経過をゲートの形で書き下す必要があります。


横磁場のハミルトニアンはX、問題に対応するハミルトニアンHはZもしくはZZという2量子ビットの相互作用を考えます。


時間発展演算子は、


exp(-iHt)


という形で、指数の肩に行列が乗る形になるため、この行列を指数の肩から降ろす必要があります。行列は対角行列の場合には、指数の肩から簡単に降ろせます。


参考:量子ゲートの時間発展

https://qiita.com/KeiichiroHiga/items/d9377060fbc97817d849


H=Zの場合には、


exp(-iZt) = Rz(2t)


となります。その他、XとYの時はそれぞれ、


X = H Z H

Y = SH Y HS*


を使って、


exp(-iXt) = exp(-i(HZH)t) = H exp(-iZt) H = HRz(2t)H = Rx(2t)


を使います。同様に、


exp(-iYt) = Ry(2t)


という便利な式があります。


2量子ビットゲートはちょっとコツが


exp(-iHt) のハミルトニアンがXXやYYやZZのような場合には少し変わります。これらはイジングカップリングゲートと呼ばれています。


参考:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic_gate#Ising_coupling_gates


exp(-iZZt) = CX Rz(2t) CX = Rzz(2t)


となります。Rigettiのようなマシンの場合にはRzzのようなイジングカップリングゲートがないので、CXとRzをつかい、IonQのようなイオントラップマシンには標準でRzzが提供されています。


Amazon Braket のゲート型量子コンピュータで指定できる量子回路

https://qiita.com/doiken_/items/a8886990130da898c625


同様に、


exp(-iXXt) = Rxx(2t)

exp(-iYYt) = Ryy(2t)


となります。最近はRxx,Ryy,Rzzゲートがポピュラーになってきたのこれらを直接使うのが簡単かと思います。以上です。



Yuichiro Minato
blueqat CEO/CTO 2015年総務省異能vation最終採択 2017年内閣府ImPACTプロジェクトPM補佐 2019年文科省さきがけ量子情報処理領域アドバイザー
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