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テンソルネットワークを利用した量子インスパイアードHOBOのソルバー拡張について

Yuichiro Minato

2024/07/24 01:27

こんにちは、なんか意外と教育や開発の現場で困ったことがあるらしいのですが、それに対応したソルバーや解決がないこともあります。そうした新しいツールをどんどん作っていきましょう。

今回の相談は、

Lattice Folding Simulation of Peptide by Quantum Computation, 2023

https://blueqat.com/bqresearch/7fc45c52-5b97-4386-9cde-f5d61a0b9b17

学生さんの卒論ですが、たんぱく質折りたたみ問題ですが、既存のQUBOソルバーでとくと、せっかくのHOBOと呼ばれる高次の式をわざわざQUBOの二次に変換する必要があるようです。

変換するとものすごく計算が面倒になりやらなくて良い作業がものすごい増えます。

量子コンピュータのシミュレーションでQAOAなどは時間発展演算子の変換があるので分解不要ですが、なぜか過去の呪縛に囚われてQUBO変換しないといけないという意識がある人も多いみたいで、HOBOのまま解いてみることを提案しました。

QUBOの場合は、qubo matrixを利用して、ベクトルxとmatrix Qを利用して

C=xTQxC = x^T Q xC=xTQx

で解けますが、なかなか高次元ではイメージがつかないようです。行列表記をやめて一般化をしたほうがいいと思います。

C=∑xxQC=\sum x x QC=∑xxQ

このようにテンソルネットワーク表記をすることで、拡張を簡単にできます。こうすることで、これまでQUBOとして使っていたような理論を簡単に高次に展開できます。元の式は例えば最大で5次の項がある場合、

C=∑xxxxxHC = \sum x x x x x HC=∑xxxxxH

とするだけです。HOBOは正確にはmatrixではなく、tensorなので、今後はHOBO tensorと呼びます。

HOBOにテンソルを利用する場合、今後の発展としてさまざまなことが考えられますが、まずはシンプルに実装方法を見てみます。HOBOのテンソルの作り方はプレプリントに載せました。

Tensor Network Based HOBO Solver, July 2024

https://blueqat.com/bqresearch/2e6a2fb2-3607-4bd7-8696-13f8658aec35

例)3次の場合。PyTorch

import torch

T = torch.tensor([
[[-10., 1, -4], [0, 0, -1], [0, 0, 0]],
[[0, 0, 0], [0, 7, 8], [0, 0, 0]],
[[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
])
x = torch.tensor([1.,0,1], dtype=torch.float32)

cost = torch.einsum('i,j,k,ijk->', x,x,x,T)
cost.item()

テンソルを準備して、ベクトルを準備して、縮約すればOKです。

例)3次の場合。Sympy

シンボルを使いたいこともあると思います。

import sympy as sp

Define the symbolic variables

x0, x1, x2 = sp.symbols('x0 x1 x2')

Define the tensor T as a symbolic 3D array

T = sp.Array([
[[-10, 1, -4], [0, 0, -1], [0, 0, 0]],
[[0, 0, 0], [0, 7, 8], [0, 0, 0]],
[[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
])

Define the symbolic vector x

x = sp.Array([x0, x1, x2])

Calculate the cost using Einstein summation

cost = sp.tensorcontraction(sp.tensorproduct(T, x, x, x), (0, 3), (1, 4), (2, 5))
cost_simplified = sp.simplify(cost)

Print the result

cost_simplified

こんな感じです。

3次までは想像できるがそれ以上が難しいという意見もありますが、4次以降も特に普通にできます。

例)4次の計算。PyTorch

import torch

3次元テンソルの定義

T = torch.tensor([
[[[-10., 0., 0.],
[ 1., 0., 0.],
[ -4., 0., 0.]],
[[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.],
[ -1., 0., 0.]],
[[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]]],

    \[\[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\]\],
     \[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  7.,   0.,   0.\],
      \[  8.,   0.,   0.\]\],
     \[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\]\]\],

    \[\[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\]\],
     \[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\]\],
     \[\[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\],
      \[  0.,   0.,   0.\]\]\]\])

ベクトル x の定義

x = torch.tensor([1., 0, 1], dtype=torch.float32)

einsum 演算

cost = torch.einsum('i,j,k,l,ijkl->', x, x, x, x, T)

コストの表示

print(cost.item())

ちなみにQUBOは単純に上三角行列と対角成分を調整すれば良かったですがHOBO tensorはもっと複雑です。定式化についてもプレプリント中には作り方は書いてますが、効率的な作り方や実装の方法などは今後コミュニティで提案していかないといけないですね。

HOBO tensorについても中身はかなり無駄が多いです。各種テンソルネットワークの技術を使って効率的な計算ができるかどうかも研究対象として楽しそうですね。

今の所Torch Tytanに実装しようかなと思っています。

https://github.com/tytansdk/tytan

以上です。

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