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2024/09/05 13:28
二次元の正規分布(多変量正規分布)は、複数の変数が正規分布に従い、同時に分布する場合を表したものです。これにより、二つの変数が互いにどう関連しているか、そしてそれぞれがどのように広がっているかを記述できます。以下で二次元正規分布について詳しく説明します。
二次元正規分布は、二つの変数
ここで、
二次元正規分布の確率密度関数 (PDF) は、次のように表されます。
この式は、分布の形状が楕円形の等高線で表されることを示しています。楕円の中心は平均ベクトル
共分散行列
例えば、共分散が 0 の場合、二つの変数は独立しており、分布は円形に近づきます。共分散が大きい場合、分布は楕円形になり、二つの変数が強く関連していることを示します。
二次元正規分布は、通常、等高線や3Dプロットを使って可視化されます。等高線は分布の確率密度が同じ値をとる点を結んだもので、楕円形の輪郭を描きます。3Dプロットでは、確率密度が山のような形で表現されます。
Pythonで二次元正規分布を可視化する際には、matplotlib
と scipy.stats
を使うと便利です。以下は、共分散行列によって形成される分布の等高線プロットの例です。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
# 平均と共分散行列
mu = [0, 0]
sigma = [[1, 0.5], [0.5, 1]]
# グリッド生成
x, y = np.mgrid[-3:3:.01, -3:3:.01]
pos = np.dstack((x, y))
# 多次元正規分布のPDFを計算
rv = multivariate_normal(mu, sigma)
pdf = rv.pdf(pos)
# 等高線プロット
plt.contour(x, y, pdf)
plt.title("二次元正規分布の等高線")
plt.xlabel("x1")
plt.ylabel("x2")
plt.show()
このコードでは、二次元正規分布の確率密度を等高線プロットで表現し、共分散の影響を視覚的に確認できます。
三次元でも表現できました。
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 3Dプロット
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, pdf, cmap='viridis')
ax.set_xlabel("x1")
ax.set_ylabel("x2")
plt.show()
二次元正規分布は、二つの変数が共同でどのように分布するかを示す分布で、平均ベクトルと共分散行列によって特徴づけられます。この分布は、共分散によって楕円形の等高線を形成し、変数間の相関を視覚的に示すことができます。
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