こんにちは、今日はデータについて学びます。
参考
The effect of data encoding on the expressive power of variational quantum machine
learning models
Maria Schuld,1 Ryan Sweke,2 and Johannes Jakob Meyer2
1Xanadu, Toronto, ON, M5G 2C8, Canada
2Dahlem Center for Complex Quantum Systems,
Freie Universit¨at Berlin, 14195 Berlin, Germany
(Dated: March 10, 2021)
複素フーリエ級数
量子コンピュータは波動を扱います。角度を使って計算をするわけですが、機械学習におけるデータの表現方法にも注意が必要です。ここでは、量子回路の単体量子ビットを使って上記論文におけるデータエンコーディングを見てみたいと思います。
量子コンピュータでは、任意回転ゲートを利用したデータエンコーディングが一般的です。入力値である連続量のデータxを量子回路上に埋め込み、量子ゲートを利用して関数を作ります。
さっそく見てみます。今回は入力値をx1として、角度の連続値を0から6piまで刻んで入力してみます。
import matplotlib.pyplot as plt
from blueqat import Circuit
import numpy as np
x1 = np.arange(0,np.pi*6,np.pi*0.02)
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].run()
arr.append(c)
print(arr)
[array([1.+0.j, 0.+0.j]), array([0.99950656+0.j , 0. -0.03141076j]), array([0.99802673+0.j , 0. -0.06279052j]), array([0.99556196+0.j , 0. -0.09410831j]), array([0.9921147+0.j , 0. -0.12533323j]), array([0.98768834+0.j , 0. -0.15643447j]), array([0.98228725+0.j , 0. -0.18738131j]), array([0.97591676+0.j , 0. -0.21814324j]), array([0.96858316+0.j , 0. -0.24868989j]), array([0.96029369+0.j , 0. -0.27899111j]), array([0.95105652+0.j , 0. -0.30901699j]), array([0.94088077+0.j , 0. -0.33873792j]), array([0.92977649+0.j , 0. -0.36812455j]), array([0.91775463+0.j , 0. -0.39714789j]), array([0.90482705+0.j , 0. -0.42577929j]), array([0.89100652+0.j , 0. -0.4539905j]), array([0.87630668+0.j , 0. -0.48175367j]), array([0.86074203+0.j , 0. -0.50904142j]), array([0.84432793+0.j , 0. -0.53582679j]), array([0.82708057+0.j , 0. -0.56208338j]), array([0.80901699+0.j , 0. -0.58778525j]), array([0.79015501+0.j , 0. -0.61290705j]), array([0.77051324+0.j , 0. -0.63742399j]), array([0.75011107+0.j , 0. -0.66131187j]), array([0.72896863+0.j , 0. -0.68454711j]), array([0.70710678+0.j , 0. -0.70710678j]), array([0.68454711+0.j , 0. -0.72896863j]), array([0.66131187+0.j , 0. -0.75011107j]), array([0.63742399+0.j , 0. -0.77051324j]), array([0.61290705+0.j , 0. -0.79015501j]), array([0.58778525+0.j , 0. -0.80901699j]), array([0.56208338+0.j , 0. -0.82708057j]), array([0.53582679+0.j , 0. -0.84432793j]), array([0.50904142+0.j , 0. -0.86074203j]), array([0.48175367+0.j , 0. -0.87630668j]), array([0.4539905+0.j , 0. -0.89100652j]), array([0.42577929+0.j , 0. -0.90482705j]), array([0.39714789+0.j , 0. -0.91775463j]), array([0.36812455+0.j , 0. -0.92977649j]), array([0.33873792+0.j , 0. -0.94088077j]), array([0.30901699+0.j , 0. -0.95105652j]), array([0.27899111+0.j , 0. -0.96029369j]), array([0.24868989+0.j , 0. -0.96858316j]), array([0.21814324+0.j , 0. -0.97591676j]), array([0.18738131+0.j , 0. -0.98228725j]), array([0.15643447+0.j , 0. -0.98768834j]), array([0.12533323+0.j , 0. -0.9921147j]), array([0.09410831+0.j , 0. -0.99556196j]), array([0.06279052+0.j , 0. -0.99802673j]), array([0.03141076+0.j , 0. -0.99950656j]), array([-1.60812265e-16+0.j, 0.00000000e+00-1.j]), array([-0.03141076+0.j , 0. -0.99950656j]), array([-0.06279052+0.j , 0. -0.99802673j]), array([-0.09410831+0.j , 0. -0.99556196j]), array([-0.12533323+0.j , 0. -0.9921147j]), array([-0.15643447+0.j , 0. -0.98768834j]), array([-0.18738131+0.j , 0. -0.98228725j]), array([-0.21814324+0.j , 0. -0.97591676j]), array([-0.24868989+0.j , 0. -0.96858316j]), array([-0.27899111+0.j , 0. -0.96029369j]), array([-0.30901699+0.j , 0. -0.95105652j]), array([-0.33873792+0.j , 0. -0.94088077j]), array([-0.36812455+0.j , 0. -0.92977649j]), array([-0.39714789+0.j , 0. -0.91775463j]), array([-0.42577929+0.j , 0. -0.90482705j]), array([-0.4539905+0.j , 0. -0.89100652j]), array([-0.48175367+0.j , 0. -0.87630668j]), array([-0.50904142+0.j , 0. -0.86074203j]), array([-0.53582679+0.j , 0. -0.84432793j]), array([-0.56208338+0.j , 0. -0.82708057j]), array([-0.58778525+0.j , 0. -0.80901699j]), array([-0.61290705+0.j , 0. -0.79015501j]), array([-0.63742399+0.j , 0. -0.77051324j]), array([-0.66131187+0.j , 0. -0.75011107j]), array([-0.68454711+0.j , 0. -0.72896863j]), array([-0.70710678+0.j , 0. -0.70710678j]), array([-0.72896863+0.j , 0. -0.68454711j]), array([-0.75011107+0.j , 0. -0.66131187j]), array([-0.77051324+0.j , 0. -0.63742399j]), array([-0.79015501+0.j , 0. -0.61290705j]), array([-0.80901699+0.j , 0. -0.58778525j]), array([-0.82708057+0.j , 0. -0.56208338j]), array([-0.84432793+0.j , 0. -0.53582679j]), array([-0.86074203+0.j , 0. -0.50904142j]), array([-0.87630668+0.j , 0. -0.48175367j]), array([-0.89100652+0.j , 0. -0.4539905j]), array([-0.90482705+0.j , 0. -0.42577929j]), array([-0.91775463+0.j , 0. -0.39714789j]), array([-0.92977649+0.j , 0. -0.36812455j]), array([-0.94088077+0.j , 0. -0.33873792j]), array([-0.95105652+0.j , 0. -0.30901699j]), array([-0.96029369+0.j , 0. -0.27899111j]), array([-0.96858316+0.j , 0. -0.24868989j]), array([-0.97591676+0.j , 0. -0.21814324j]), array([-0.98228725+0.j , 0. -0.18738131j]), array([-0.98768834+0.j , 0. -0.15643447j]), array([-0.9921147+0.j , 0. -0.12533323j]), array([-0.99556196+0.j , 0. -0.09410831j]), array([-0.99802673+0.j , 0. -0.06279052j]), array([-0.99950656+0.j , 0. -0.03141076j]), array([-1.+0.0000000e+00j, 0.+3.2162453e-16j]), array([-0.99950656+0.j , 0. +0.03141076j]), array([-0.99802673+0.j , 0. +0.06279052j]), array([-0.99556196+0.j , 0. +0.09410831j]), array([-0.9921147+0.j , 0. +0.12533323j]), array([-0.98768834+0.j , 0. +0.15643447j]), array([-0.98228725+0.j , 0. +0.18738131j]), array([-0.97591676+0.j , 0. +0.21814324j]), array([-0.96858316+0.j , 0. +0.24868989j]), array([-0.96029369+0.j , 0. +0.27899111j]), array([-0.95105652+0.j , 0. +0.30901699j]), array([-0.94088077+0.j , 0. +0.33873792j]), array([-0.92977649+0.j , 0. +0.36812455j]), array([-0.91775463+0.j , 0. +0.39714789j]), array([-0.90482705+0.j , 0. +0.42577929j]), array([-0.89100652+0.j , 0. +0.4539905j]), array([-0.87630668+0.j , 0. +0.48175367j]), array([-0.86074203+0.j , 0. +0.50904142j]), array([-0.84432793+0.j , 0. +0.53582679j]), array([-0.82708057+0.j , 0. +0.56208338j]), array([-0.80901699+0.j , 0. +0.58778525j]), array([-0.79015501+0.j , 0. +0.61290705j]), array([-0.77051324+0.j , 0. +0.63742399j]), array([-0.75011107+0.j , 0. +0.66131187j]), array([-0.72896863+0.j , 0. +0.68454711j]), array([-0.70710678+0.j , 0. +0.70710678j]), array([-0.68454711+0.j , 0. +0.72896863j]), array([-0.66131187+0.j , 0. +0.75011107j]), array([-0.63742399+0.j , 0. +0.77051324j]), array([-0.61290705+0.j , 0. +0.79015501j]), array([-0.58778525+0.j , 0. +0.80901699j]), array([-0.56208338+0.j , 0. +0.82708057j]), array([-0.53582679+0.j , 0. +0.84432793j]), array([-0.50904142+0.j , 0. +0.86074203j]), array([-0.48175367+0.j , 0. +0.87630668j]), array([-0.4539905+0.j , 0. +0.89100652j]), array([-0.42577929+0.j , 0. 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-0.77051324j]), array([0.61290705+0.j , 0. -0.79015501j]), array([0.58778525+0.j , 0. -0.80901699j]), array([0.56208338+0.j , 0. -0.82708057j]), array([0.53582679+0.j , 0. -0.84432793j]), array([0.50904142+0.j , 0. -0.86074203j]), array([0.48175367+0.j , 0. -0.87630668j]), array([0.4539905+0.j , 0. -0.89100652j]), array([0.42577929+0.j , 0. -0.90482705j]), array([0.39714789+0.j , 0. -0.91775463j]), array([0.36812455+0.j , 0. -0.92977649j]), array([0.33873792+0.j , 0. -0.94088077j]), array([0.30901699+0.j , 0. -0.95105652j]), array([0.27899111+0.j , 0. -0.96029369j]), array([0.24868989+0.j , 0. -0.96858316j]), array([0.21814324+0.j , 0. -0.97591676j]), array([0.18738131+0.j , 0. -0.98228725j]), array([0.15643447+0.j , 0. -0.98768834j]), array([0.12533323+0.j , 0. -0.9921147j]), array([0.09410831+0.j , 0. -0.99556196j]), array([0.06279052+0.j , 0. -0.99802673j]), array([0.03141076+0.j , 0. -0.99950656j]), array([-5.8201672e-16+0.j, 0.0000000e+00-1.j]), array([-0.03141076+0.j , 0. -0.99950656j]), array([-0.06279052+0.j , 0. -0.99802673j]), array([-0.09410831+0.j , 0. -0.99556196j]), array([-0.12533323+0.j , 0. -0.9921147j]), array([-0.15643447+0.j , 0. -0.98768834j]), array([-0.18738131+0.j , 0. -0.98228725j]), array([-0.21814324+0.j , 0. -0.97591676j]), array([-0.24868989+0.j , 0. -0.96858316j]), array([-0.27899111+0.j , 0. -0.96029369j]), array([-0.30901699+0.j , 0. -0.95105652j]), array([-0.33873792+0.j , 0. -0.94088077j]), array([-0.36812455+0.j , 0. -0.92977649j]), array([-0.39714789+0.j , 0. -0.91775463j]), array([-0.42577929+0.j , 0. -0.90482705j]), array([-0.4539905+0.j , 0. -0.89100652j]), array([-0.48175367+0.j , 0. -0.87630668j]), array([-0.50904142+0.j , 0. -0.86074203j]), array([-0.53582679+0.j , 0. -0.84432793j]), array([-0.56208338+0.j , 0. -0.82708057j]), array([-0.58778525+0.j , 0. -0.80901699j]), array([-0.61290705+0.j , 0. -0.79015501j]), array([-0.63742399+0.j , 0. -0.77051324j]), array([-0.66131187+0.j , 0. -0.75011107j]), array([-0.68454711+0.j , 0. -0.72896863j]), array([-0.70710678+0.j , 0. -0.70710678j]), array([-0.72896863+0.j , 0. -0.68454711j]), array([-0.75011107+0.j , 0. -0.66131187j]), array([-0.77051324+0.j , 0. -0.63742399j]), array([-0.79015501+0.j , 0. -0.61290705j]), array([-0.80901699+0.j , 0. -0.58778525j]), array([-0.82708057+0.j , 0. -0.56208338j]), array([-0.84432793+0.j , 0. -0.53582679j]), array([-0.86074203+0.j , 0. -0.50904142j]), array([-0.87630668+0.j , 0. -0.48175367j]), array([-0.89100652+0.j , 0. -0.4539905j]), array([-0.90482705+0.j , 0. -0.42577929j]), array([-0.91775463+0.j , 0. -0.39714789j]), array([-0.92977649+0.j , 0. -0.36812455j]), array([-0.94088077+0.j , 0. -0.33873792j]), array([-0.95105652+0.j , 0. -0.30901699j]), array([-0.96029369+0.j , 0. -0.27899111j]), array([-0.96858316+0.j , 0. -0.24868989j]), array([-0.97591676+0.j , 0. -0.21814324j]), array([-0.98228725+0.j , 0. -0.18738131j]), array([-0.98768834+0.j , 0. -0.15643447j]), array([-0.9921147+0.j , 0. -0.12533323j]), array([-0.99556196+0.j , 0. -0.09410831j]), array([-0.99802673+0.j , 0. -0.06279052j]), array([-0.99950656+0.j , 0. -0.03141076j])]
出力は状態ベクトルの形にしてみました。刻々と状態が変化しているのが分かります。これだとかなりわかりにくいです。xの値を関数に通してf(x)の形にしたいです。そこで、期待値を計算します。今回は期待値はパウリ行列Zをつかいます。これを使えば、答えが実数で出ます。ほかのを使うと答えが虚数ででてグラフで見づらかったです。
計算方法は、状態ベクトルcをつかって、
最終的な式は状態ベクトルの要素を使って、
Z = np.array([[1,0],[0,1]])
x1 = np.arange(0,np.pi*6,np.pi*0.02)
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
これを見るとわかりやすいですね。関数f(x)は三角関数になっています。Zに係数をかけても振幅という縦の大きさが圧縮されるだけで関数の形状に大きな変化ありません。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].run()
arr.append(0.1*(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2))
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
上記回路を2回繰り返すと、当たり前ですが、角度が2倍されるので周期が短くなります。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].rx(x1[i])[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
下記のように角度を二倍するのと同じです。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i]*2)[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
rxの角度を変えずにryを使って同じ周期で角度を入れてみます。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].ry(x1[i])[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
rxとryを併用することでも周期を変更できました。では、この繰り返しを利用して、異なる周期の波を重ねてみます。二回計算しますが、一回目の量子回路をrx、二回目の繰り返しの量子回路をrx+ryとしてみます。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].rx(x1[i])[0].ry(x1[i])[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
繰り返しを追加してみました。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].rx(x1[i])[0].ry(x1[i])[0].rx(x1[i])[0].ry(x1[i])[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
変数のパラメータが増えればそれだけ複雑な関数も表現できるようになります。ランダム値を入れてみます。
arr = []
for i in range(len(x1)):
c = Circuit(1).rx(x1[i])[0].rx(x1[i])[0].ry(x1[i]+np.random.random())[0].run()
arr.append(np.abs(c[0])**2-np.abs(c[1])**2)
plt.plot(arr)
plt.show()
<Figure size 432x288 with 1 Axes>
実際にはある程度同じパラメータを使っても量子回路を繰り返すことで、複雑な関数に機械学習でフィットさせることができますので、とても便利です。以上です。