ハイゼンベルグ模型とイジング模型

はじめに

最近やたらとハイゼンベルグ模型の話が出てくるので、調べてみました。元々量子アニーリングをやっていたので、イジングモデルとの違いとかよくわからんので簡単に調べてみます。

n-ベクトルモデルというもので説明がつくらしいです。

「n-ベクトルモデル（英: n-vector model）、あるいは、O(n) モデルは、統計力学的なモデルのひとつ。相転移、臨界現象（英語版）、磁性などを説明するために用いられる、非常に単純化された（もしくは実効的な）モデルである。ユージン・スタンレーにより導入された。」

統計力学的なトイモデルの提案が複数あり、n-ベクトルモデルとしてまとめられるようです。

n = 0 – 自己回避ランダムウォーク
n = 1 – イジング模型
n = 2 – （古典）XY模型
n = 3 – （古典）ハイゼンベルク模型
n = 4 – 標準模型のヒッグスセクター

とのことなんで、n-ベクトルモデルとして考えればいいのでしょうか。

よくみたらその下にこれがありました。

量子論的表式ではスピンを古典的に取り扱うことはできず、スピン演算子により表現される量子スピンとして取り扱わなければならない。古典的表式との主な相違点は、n次元のスピン演算子同士は交換しないことである。以下の特別の場合が知られている。

n = 0 – 自己回避ランダムウォーク
n = 1 – イジング模型
n = 2 – （量子）XY模型
n = 3 – （量子）ハイゼンベルク模型

上記n-ベクトルモデルのハミルトニアンは、

H = J\sum_{<i,j>}\vec{S}_i \cdot \vec{S}_j

よくわかりませんが、社会問題にはイジング模型を使っておけばいいと思いました。