2量子ビットゲートと SU(4)

1. 2量子ビットと SU(4)

• 2 量子ビットの状態は 4 次元複素ベクトル空間の正規化ベクトル：

  |\Psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle,\quad |a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2=1.

• 確率を保存する 4×4 の操作は ユニタリ行列。

• グローバル位相を除いた 2量子ビット操作の本体は SU(4)（4×4 ユニタリで行列式 1）。

2. なぜ SU(4) なのか？

• 一般の 4×4 ユニタリは U(4) に属する。

• ところが

  U(4) \cong U(1)\times SU(4)

  と分解でき、 U(1) 部分（グローバル位相） は観測に影響しない。

• よって、物理的に本質なのは SU(4)。
  → 任意の 2量子ビット操作は「（グローバル位相）×（SU(4) 要素）」とみなせる。

3. 具体例：基本構成とゲート

(a) su(4) の生成子（15 個）

• 2量子ビットのリー代数 su(4) は トレース 0 のエルミート行列 15 個で張られる：

  \{\ \sigma_i\otimes I,\ I\otimes \sigma_i,\ \sigma_i\otimes\sigma_j\ \mid\ i,j\in\{x,y,z\}\ \}

  （3 + 3 + 9 = 15）

(b) ローカル操作（各ビットの SU(2)）

• 例：片方だけ回す

  R_x^{(A)}(\theta)=e^{-i\frac{\theta}{2}\,(\sigma_x\otimes I)},\quad R_z^{(B)}(\phi)=e^{-i\frac{\phi}{2}\,(I\otimes \sigma_z)}.

  これは SU(2)⊗SU(2) に相当（非エンタングリング）。

(c) 非ローカル（エンタングリング）操作

• 代表例（いずれも SU(4) の要素、またはグローバル位相を掛ければ SU(4) に入る）：

  • iSWAP

    \mathrm{iSWAP}=\exp\!\Big(+i\frac{\pi}{4}\,(\sigma_x\!\otimes\!\sigma_x+\sigma_y\!\otimes\!\sigma_y)\Big)

    行列表現は \{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\} 基底で
    \mathrm{diag}(1,0,0,1) 以外の |01\rangle\!\leftrightarrow\!|10\rangle が i で入れ替わる。

  • CZ

    \mathrm{CZ}=\mathrm{diag}(1,1,1,-1)

    \det(\mathrm{CZ})=-1 なので U(4) だが、グローバル位相 e^{i\pi/4} を掛ければ SU(4) 代表にできる。

  • CNOT
    これも \det=-1。やはり位相補正で SU(4) に移せる（物理的には同等）。

重要：任意の U\in SU(4) は
「ローカル SU(2) 操作」と少数のエンタングリングゲート（CNOT など）で合成できる
（KAK/カルタン分解：
U=(U_1\!\otimes\!U_2)\,e^{-i(\,c_1 X\otimes X+c_2 Y\otimes Y+c_3 Z\otimes Z\,)/2}\,(U_3\!\otimes\!U_4) ）。

4. 幾何的な見方と 1 量子ビットとの違い

• 1量子ビットの純粋状態は Bloch 球（S^2） だが、2量子ビットの純粋状態空間は \mathbb{CP}^3 （より複雑）で、 エンタングルメント という新たな自由度が現れる。
• ローカル SU(2)⊗SU(2) は「各ビットの向き（Bloch 球上の回転）」を変えるだけ。
  一方、\sigma_i\!\otimes\!\sigma_j の指数は 2ビット間の相関（エンタングルメント） を生成する。

5. まとめ

• 2量子ビット演算 = SU(4)（グローバル位相除く）。
• su(4) の生成子は \{\sigma_i\otimes I,\ I\otimes\sigma_i,\ \sigma_i\otimes\sigma_j\}。
• 任意の SU(4) は ローカル SU(2) と 1–数個のエンタングリング操作で合成可能。
• CNOT/CZ/iSWAP は非ローカル部分の具体例（CNOT/CZ は位相補正で SU(4) 代表へ）。

Python で少し確認

import numpy as np
from numpy.linalg import det
from scipy.linalg import expm, norm

# Pauli & kron
I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0,1],[1,0]], complex)
Y = np.array([[0,-1j],[1j,0]], complex)
Z = np.array([[1,0],[0,-1]], complex)

k = np.kron

# --- su(4) の生成子（トレース0のエルミートを15個）
generators = (
    [k(X,I), k(Y,I), k(Z,I)] +
    [k(I,X), k(I,Y), k(I,Z)] +
    [k(X,X), k(X,Y), k(X,Z),
     k(Y,X), k(Y,Y), k(Y,Z),
     k(Z,X), k(Z,Y), k(Z,Z)]
)
# ざっと確認（全部 trace=0）
assert all(abs(np.trace(G)) < 1e-12 for G in generators)

# --- ローカル回転は tensor product に分解できる
def Rx(theta): return expm(-1j*theta/2 * X)
def Rz(theta): return expm(-1j*theta/2 * Z)

theta = np.pi/3
U_local_theory = k(Rx(theta), Rz(theta))
U_local_su4    = expm(-1j*(theta/2)*(k(X,I))) @ expm(-1j*(theta/2)*(k(I,Z)))
print("local match:", np.allclose(U_local_theory, U_local_su4, atol=1e-12))

# --- 代表的なエンタングリング（iSWAP）
iSWAP = expm(+1j*(np.pi/4)*(k(X,X) + k(Y,Y)))   # 物理の符号規約によって -1j にもなり得ます
iSWAP_ref = np.array([[1,0,0,0],
                      [0,0,1j,0],
                      [0,1j,0,0],
                      [0,0,0,1]], complex)
print("iSWAP equals reference:", np.allclose(iSWAP, iSWAP_ref, atol=1e-12))
print("det(iSWAP) =", det(iSWAP))  # -> 1 → SU(4)

# --- CNOT は det = -1（U(4)）。位相補正で SU(4) 代表へ
CNOT = np.array([[1,0,0,0],
                 [0,1,0,0],
                 [0,0,0,1],
                 [0,0,1,0]], complex)
print("det(CNOT) =", det(CNOT))    # -> -1

def to_su4(U):
    # 4x4 行列の det を 1 に合わせる全体位相（U(1)）を除去
    phi = -np.angle(det(U)) / 4.0
    return np.exp(1j*phi) * U

CNOT_su = to_su4(CNOT)
print("det(CNOT_su) =", det(CNOT_su))  # -> 1（SU(4) 代表）

local match: True
iSWAP equals reference: True
det(iSWAP) = (1+0j)
det(CNOT) = (-1+0j)
det(CNOT_su) = (1+2.7755575615628914e-16j)

ポイント

• ローカル回転は \exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma\otimes I) / \exp(-i\frac{\phi}{2}I\otimes\sigma) の形に落ちます。
• エンタングリングは \exp(-i\frac{\theta}{2}\sigma_i\otimes\sigma_j) の指数型。
• CNOT/CZ は \det=-1 ですが、グローバル位相の調整で SU(4) 代表にできます（物理的には同一視）。