これまで、ベイズの定理、ベイズ推定、変分ベイズについて学んできました。
数式変形がちょっと面倒でしたが、理解としては事前分布、尤度関数、周辺分布から事後分布を計算しますが、周辺分布の計算が難しいためいろいろ工夫がされています。
今回はこの辺りを利用して実際に利用ができるVAEについてみてみたいと思います。
例によってChatGPTに聞いてみます。
もちろん、数式を適切に $ で囲むように変更します。
1. VAEの目的
VAEの目標は、観測データ
具体的には、生成確率モデル
2. VAEの確率モデル
VAEは、潜在変数モデルとして、次の確率モデルを仮定します。
- 生成過程:
- 潜在変数
\mathbf{z} p(\mathbf{z}) - 観測データ
\mathbf{x} \mathbf{z} p(\mathbf{x}|\mathbf{z})
- 潜在変数
しかし、
3. 変分推論とELBO
潜在変数
ELBOは、以下のように定義されます。
ここで、
\log p(\mathbf{x}) \mathbf{x} q(\mathbf{z}|\mathbf{x}) p(\mathbf{x}|\mathbf{z}) D_{\mathrm{KL}}
ELBOの2つの項を簡単に説明すると：
- 復元誤差:
\mathbb{E}_{q(\mathbf{z}|\mathbf{x})} \left[\log p(\mathbf{x}|\mathbf{z})\right] \mathbf{x} \mathbf{z} - 正則化項:
D_{\mathrm{KL}} \left(q(\mathbf{z}|\mathbf{x}) \| p(\mathbf{z})\right) q(\mathbf{z}|\mathbf{x}) p(\mathbf{z}) \mathbf{z}
4. VAEのエンコーダとデコーダ
VAEは、ニューラルネットワークを使って次の2つの役割を担います。
- エンコーダ: 入力データ
\mathbf{x} \mathbf{z} q(\mathbf{z}|\mathbf{x}) \mathbf{x} \mu(\mathbf{x}) \sigma(\mathbf{x}) \mathbf{z}
ここで
- デコーダ: サンプリングされた潜在変数
\mathbf{z} \mathbf{x} p(\mathbf{x}|\mathbf{z})
5. VAEの損失関数
VAEの学習は、ELBOを最大化することに対応します。すなわち、以下の損失関数を最小化します。
この損失関数は、再構築誤差とKLダイバージェンスを組み合わせた形になっています。
このように、VAEは変分推論を利用してデータの生成モデルを学習し、データの再構築と生成の両方に優れた能力を持つモデルです。
VAEの利用用途に関して、「入力データと出力データが似ているだけなら、どのように応用されるのか？」という疑問は自然なものです。しかし、VAEの強みは単にデータを再構築するだけでなく、データの生成や特徴抽出、さらには新しいサンプルを作り出すことにあります。いくつか具体的な応用例を通じて、VAEの利点を説明します。
1. 新しいデータの生成
VAEの最大の強みは、新しいデータを生成できる点です。VAEは、入力データから学習した潜在空間を使って、新しいデータサンプルを生成することが可能です。例えば、手書き文字のデータセットで訓練されたVAEは、訓練データに存在しない新しい手書き文字のような画像を生成することができます。
- 応用例:
- 画像生成: 画像生成アプリケーションでは、VAEを使って既存の画像データから新しい画像を生成できます。
- 異常検知: 正常データを用いてVAEを学習させると、異常なデータ（再構築が難しいデータ）が発見できます。つまり、出力が入力と大きく異なる場合、異常なデータと見なされます。
2. 次元削減と特徴抽出
VAEは、データを潜在空間（低次元の圧縮された特徴空間）に変換することができます。この潜在空間は、入力データの背後にある重要な特徴を圧縮して保持しているため、次元削減やデータの特徴抽出に役立ちます。
- 応用例:
- データの可視化: 高次元データ（画像データなど）をVAEで低次元の潜在変数に変換することで、データの分布やクラスタリング構造を可視化できます。
- 特徴ベクトルの抽出: 潜在空間から得られる特徴ベクトルを使って、データのクラスタリングや分類など、機械学習の他のタスクに応用することができます。
3. データのノイズ除去
VAEは、入力データに含まれるノイズを除去し、クリーンなデータを再構築する能力もあります。これは、データの背後にある潜在的な構造を学習することで実現されます。例えば、ノイズのある画像を入力として与えた場合、VAEは元のきれいな画像を再構築できることがあります。
- 応用例:
- ノイズ除去: 写真や音声などのデータセットにノイズが含まれている場合、VAEを使用してノイズのない元のデータに近い形に再構築することが可能です。
4. 異常検知
VAEは、正常なデータからの再構築誤差が小さく、異常なデータでは再構築誤差が大きくなるため、異常検知に非常に有効です。訓練データとして正常データを使用することで、VAEは正常データの分布を学習し、異常なデータが入力された場合、それを適切に再構築できないため、異常として検知できます。
- 応用例:
- 産業機械の異常検知: 正常な動作データを基に機械学習を行い、異常な動作データが現れた際に異常を検出することができます。
5. データの生成的モデリング
VAEは生成モデルであり、新しいデータポイントを生成するために使用されます。潜在空間におけるサンプリングにより、従来のデータセットには含まれない、しかしその分布に従うような新しいデータを生成できます。
- 応用例:
- 医療データの拡張: 限られた患者データから新しい患者データを生成し、データ拡張を行うことで、機械学習モデルのトレーニングを改善することが可能です。
まとめ
VAEの利用用途は、単に入力データを再構築するだけではなく、新しいデータを生成したり、データの背後にある重要な特徴を抽出する点にあります。画像や音声などの高次元データに対する次元削減、ノイズ除去、異常検知、そして生成モデルとしての能力が、VAEを幅広い応用に適した強力なツールにしています。
VAEの潜在空間から条件付きサンプリングを行う場合、特定の条件に基づいて潜在変数
1. 条件付きVAE (CVAE) の仕組み
通常のVAEでは、入力データ
2. 条件 \mathbf{c}
CVAEでは、以下のように条件
-
エンコーダ: エンコーダに入力データ
\mathbf{x} \mathbf{c} \mathbf{x} \mathbf{z} \mathbf{c} q(\mathbf{z}|\mathbf{x}, \mathbf{c}) -
デコーダ: デコーダには、サンプリングされた潜在変数
\mathbf{z} \mathbf{c} \mathbf{c} \mathbf{x'} p(\mathbf{x}|\mathbf{z}, \mathbf{c})
3. 条件付きVAEのモデル
条件
-
エンコーダ: 条件
\mathbf{c} \mathbf{x} \mathbf{z} q(\mathbf{z}|\mathbf{x}, \mathbf{c}) \mathbf{c} -
デコーダ: 潜在変数
\mathbf{z} \mathbf{c} \mathbf{x} \mathbf{c}
4. 条件付きサンプリングの実際
例えば、手書き数字のデータセット (MNIST) で条件付きサンプリングを行う場合、条件
- 手順:
- ラベル
\mathbf{c} = 7 \mathbf{c} = 7 \mathbf{z}
- ラベル
5. 損失関数の修正
条件付きVAEでも、通常のVAEと同様にELBO（証拠下界）を最大化しますが、条件
このように、条件
6. 応用例
条件付きサンプリングは、以下のような用途で応用されます。
- 画像生成: 特定のカテゴリやラベルに基づいた画像生成（例えば、動物の種類、服のスタイルなど）。
- テキスト生成: 特定のトピックやスタイルに基づいたテキスト生成。
- 異常検知: 特定の条件（例えば、正常データの範囲）に基づいて異常を検知する。
まとめ
条件付きサンプリングを行う際には、VAEを条件付きVAEに拡張し、条件
学んだ結果、潜在空間の理解は最初に行っておく必要がありますが、変分ベイズそのものの理解よりはわかりやすかった気がします。
そのまま拡散モデルに入りたいと思います。