Towards Quantum Machine Learning with Tensor Networks William Huggins,1 Piyush Patil,1 Bradley Mitchell,1 K. Birgitta Whaley,1 and E. Miles Stoudenmire2 1University of California Berkeley, Berkeley, CA 94720 USA 2Center for Computational Quantum Physics, Flatiron Institute, 162 5th Avenue, New York, NY 10010, USA (Dated: August 1, 2018)

基本的に量子状態を表現するのにテンソルネットワークの木構造を使うことがありますが、下記のような８量子ビットの量子状態は、左側テンソルネットワークで結合次元が4の構造を利用するのに対して、右側の量子回路は量子ビット数を最終的な出力数に揃えて入力数を準備してあげる必要があり、ユニタリ回路を通じて同様の操作を実現します。

引用：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2058-9565/ab4eb5/pdf

次に

引用：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2058-9565/ab4eb5/pdf

TTNの構造を量子回路に落とし込んだものを見てみます。左側は量子回路に相当し、斜線が日本あるところは測定無しになってます。右側では量子状態の期待値を求めるものですが、測定する最後の量子ビット以外は縮約を取り、縮約密度行列ができます。

MPS

行列積状態を実現する量子回路は論文より、

引用：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2058-9565/ab4eb5/pdf

隣接するノードとの結合次元がユニタリ操作を通じて実現されています。

生成TTN

TTNモデルを識別モデルではなく、生成モデルとしてデータ生成に活かすためには、逆方向に実装し、0状態からユニタリ操作を通じて最終的に全ての量子ビットの測定を行ってサンプルを取ります。

引用：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2058-9565/ab4eb5/pdf

生成MPS

MPSを生成モデルとして利用する際にも、同じようにできます。0に量子ビット準備して、ユニタリ回路で実装してきます。最終的に全ての量子ビットのサンプルを取ります。

引用：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2058-9565/ab4eb5/pdf

めちゃんこ便利ですね。実装してみます。

MERA

今回作るモデルはMERAと呼ばれる木構造をしています。U3ゲートとCXゲートを使います。

|0> --[input]--U3--*--
                   |
|0> --[input]--U3--X--U3--*--
                          |
|0> --[input]--U3--*--    |
                   |      |
|0> --[input]--U3--X--U3--X--[m]-[expt]-[loss]-[output]


#MERA circuit
def mera(a):
   
    u = Circuit()
    u.u3(a[0],a[1],a[2])[0]
    u.u3(a[3],a[4],a[5])[1]
    u.u3(a[6],a[7],a[8])[2]
    u.u3(a[9],a[10],a[11])[3]
    u.cx[0,1].cx[2,3]
    u.u3(a[12],a[13],a[14])[1]
    u.u3(a[15],a[16],a[17])[3]
    u.cx[1,3]
    
    return u

from blueqat import Circuit
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import time
%matplotlib inline

np.random.seed(39)

#initial parameters
ainit = [np.random.rand()*np.pi*2 for i in range(18)]

必要な関数を実装します。


#expectation value
def E(sv):
    return sum(np.abs(sv[:8])**2)-sum(np.abs(sv[8:])**2)

#loss function
def L(p,t):
    return (p-t)**2

#data to gate
def ix(l):
    u = Circuit(4)
    for i in l:
        u.x[i]
    return u

データを準備します。トレーニング用のデータと検証用を準備しました。


#training data
inp = [[0,1],[2,3],[0],[3]]
tgt = [1,1,-1,-1]

#validation data
inp_c = [[1],[2],[0,2],[1,3]]
tgt_c = [-1,-1,1,1]

早速開始です。毎回の勾配の計算時に訓練データをランダムで選び最適化をかけます。


#initial parameters
a = ainit.copy()

#result list
ar = []

h = 0.01
e = 0.01

#iterations
nsteps = 800

start = time.time()
for i in range(nsteps):
    r = np.random.randint(0,len(inp))
    
    c = ix(inp[r])+mera(a)
    loss = L(E(c.run()),tgt[r])
    
    ar.append(loss)
    
    at = [0 for i in range(len(a))]   
    for j in range(len(a)):
        aa = a.copy()
        aa[j] += h
        loss2 = L(E((ix(inp[r])+mera(aa)).run()),tgt[r])
        at[j] = a[j] - e*(loss2 - loss)/h

    a = at

plt.plot(ar)
plt.show()

print(time.time() - start)

<Figure size 432x288 with 1 Axes>

5.946179628372192

うまく収束したのでチェックしてみたいと思います。


#training accuracy
np.mean([E((ix(inp[i])+mera(a)).run())/tgt[i] for i in range(len(inp))])
#=>0.9760245973174358

0.9760245973174352


#validation accuracy
np.mean([E((ix(inp_c[i])+mera(a)).run())/tgt_c[i] for i in range(len(inp_c))])
#=>0.9769492668551134

0.9769492668551134

いい感じですね。

MPS

次に作るのモデルはMPSと呼ばれる階段構造をしています。U3ゲートとCXゲートを使います。

|0> --[input]--U3--*--
                   |
|0> --[input]--U3--X--U3--*--
                          |
|0> --[input]---------U3--X--U3--*
                                 |
|0> --[input]----------------U3--X--[m]-[expt]-[loss]-[output]

モデルは、


#MPS circuit
def mps(a):
   
    u = Circuit()
    u.u3(a[0],a[1],a[2])[0]
    u.u3(a[3],a[4],a[5])[1]
    u.u3(a[6],a[7],a[8])[2]
    u.u3(a[9],a[10],a[11])[3]
    u.cx[0,1]
    u.u3(a[12],a[13],a[14])[1]
    u.cx[1,2]
    u.u3(a[15],a[16],a[17])[2]
    u.cx[2,3]
    
    return u

早速計算します。その他のパラメータ類は先ほどと同じにします。


start = time.time()

#initial parameters
a = ainit.copy()

#result list
ar = []

h = 0.01
e = 0.01

for i in range(nsteps):
    r = np.random.randint(0,len(inp))
    
    loss = L(E((ix(inp[r])+mps(a)).run()),tgt[r])
    ar.append(loss)
    
    at = [0 for i in range(len(a))]
    for j in range(len(a)):
        aa = a.copy()
        aa[j] += h
        loss2 = L(E((ix(inp[r])+mps(aa)).run()),tgt[r])
        at[j] = a[j] - e*(loss2 - loss)/h

    a = at

plt.plot(ar)
plt.show()
print(time.time() - start)

<Figure size 432x288 with 1 Axes>

5.819611310958862

7.919758081436157

精度です。


#training accuracy
np.mean([E((ix(inp[i])+mps(a)).run())/tgt[i] for i in range(len(inp))])
#=>0.9697437828925157

0.9700788727843366


#validation accuracy
np.mean([E((ix(inp_c[i])+mps(a)).run())/tgt_c[i] for i in range(len(inp_c))])
#=>0.9696755262709482

0.970138094683916

量子回路でTTNやMPS、および効率的に実装

Yuichiro Minato

はじめに.css-1yssqf7{opacity:0.6;border:0;border-color:inherit;border-style:solid;border-bottom-width:1px;width:100%;margin-top:var(--chakra-space-2);}

TTN

Towards Quantum Machine Learning with Tensor Networks

MPS

生成TTN

生成MPS

MERA

MPS

はじめに